ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 788 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму первых n членов геометрической прогрессии (a_n), если:

а) a_1=-27, q=1/3, n=6; в) a_n=1/108, q=1/6, n=5;

б) a_1=1/625, q=-5, n=5; г) a_n=3, q=v2/2, n=6.

В геометрической прогрессии:

a)
\( a_1 = -27, \, q = \frac{1}{3}, \, n = 6; \)

\[
S_6 = \frac{a_1(1 — q^6)}{1 — q} = \frac{-27 \left( 1 — \left( \frac{1}{3} \right)^6 \right)}{1 — \frac{1}{3}};
\]

\[
S_6 = -27 \cdot \frac{3}{2} \left( 1 — \frac{1}{729} \right) = -\frac{81}{2} \cdot \frac{728}{729};
\]

\[
S_6 = \frac{364}{9} = -40 \frac{4}{9};
\]

Ответ:

\(-40 \frac{4}{9}\).

б)
\( a_1 = \frac{1}{625}, \, q = -5, \, n = 5; \)

\[
S_5 = \frac{a_1(1 — q^5)}{1 — q} = \frac{\frac{1}{625} \left( 1 — (-5)^5 \right)}{1 + 5};
\]

\[
S_5 = \frac{\frac{1}{625} + 3125}{6} = \frac{3126}{625 \cdot 6} = \frac{521}{625};
\]

Ответ:

\(\frac{521}{625}\).

в)
\( a_n = \frac{1}{108}, \, q = \frac{1}{6}, \, n = 5; \)

\[
a_1 = \frac{a_5}{q^4} = \frac{1}{108} \cdot 6^4 = \frac{1296}{108} = 12;
\]

\[
S_5 = \frac{a_1(1 — q^5)}{1 — q} = \frac{12 \left( 1 — \left( \frac{1}{6} \right)^5 \right)}{1 — \frac{1}{6}};
\]

\[
S_5 = \frac{12 \cdot 6 \left( 1 — \frac{1}{7776} \right)}{5} = \frac{72}{5} \cdot \frac{7775}{7776};
\]

\[
S_5 = \frac{1555}{108} = 14 \frac{43}{108};
\]

Ответ:

\( 14 \frac{43}{108} \).

г)
\( a_n = 3, \, q = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, n = 6; \)

\[
a_1 = \frac{a_6}{q^5} = 3 \cdot \left( \sqrt{2} \right)^5 = 12\sqrt{2};
\]

\[
S_6 = \frac{a_1(1 — q^6)}{1 — q} = \frac{12\sqrt{2} \left( 1 — \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^6 \right)}{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}};
\]

\[
S_6 = \frac{24\sqrt{2} \cdot \left( 1 — \frac{1}{8} \right)}{2 — \sqrt{2}} = \frac{24 \cdot 7}{8(\sqrt{2} — 1)};
\]

\[
S_6 = \frac{3 \cdot 7 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} — 1)(\sqrt{2} + 1)} = 21(\sqrt{2} + 1);
\]

Ответ:

\( 21(\sqrt{2} + 1) \).

Задача а)

Дано: \( a_1 = -27, \, q = \frac{1}{3}, \, n = 6; \)

Шаг 1: Рассчитаем сумму первых 6 членов геометрической прогрессии с помощью формулы:

\( S_6 = \frac{a_1(1 — q^6)}{1 — q} = \frac{-27 \left( 1 — \left( \frac{1}{3} \right)^6 \right)}{1 — \frac{1}{3}};
\)

Шаг 2: Упростим выражение:

\( S_6 = -27 \cdot \frac{3}{2} \left( 1 — \frac{1}{729} \right) = -\frac{81}{2} \cdot \frac{728}{729};
\)

Шаг 3: Получаем окончательное значение:

\( S_6 = \frac{364}{9} = -40 \frac{4}{9};
\)

Ответ: \(-40 \frac{4}{9}\).

Задача б)

Дано: \( a_1 = \frac{1}{625}, \, q = -5, \, n = 5; \)

Шаг 1: Рассчитаем сумму первых 5 членов прогрессии:

\( S_5 = \frac{a_1(1 — q^5)}{1 — q} = \frac{\frac{1}{625} \left( 1 — (-5)^5 \right)}{1 + 5};
\)

Шаг 2: Упростим выражение:

\( S_5 = \frac{\frac{1}{625} + 3125}{6} = \frac{3126}{625 \cdot 6} = \frac{521}{625};
\)

Ответ: \(\frac{521}{625}\).

Задача в)

Дано: \( a_n = \frac{1}{108}, \, q = \frac{1}{6}, \, n = 5; \)

Шаг 1: Найдем первый член прогрессии:

\( a_1 = \frac{a_5}{q^4} = \frac{1}{108} \cdot 6^4 = \frac{1296}{108} = 12;
\)

Шаг 2: Рассчитаем сумму первых 5 членов прогрессии:

\( S_5 = \frac{a_1(1 — q^5)}{1 — q} = \frac{12 \left( 1 — \left( \frac{1}{6} \right)^5 \right)}{1 — \frac{1}{6}};
\)

Шаг 3: Упростим выражение:

\( S_5 = \frac{12 \cdot 6 \left( 1 — \frac{1}{7776} \right)}{5} = \frac{72}{5} \cdot \frac{7775}{7776};
\)

Шаг 4: Получаем окончательное значение:

\( S_5 = \frac{1555}{108} = 14 \frac{43}{108};
\)

Ответ: \( 14 \frac{43}{108} \).

Задача г)

Дано: \( a_n = 3, \, q = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, n = 6; \)

Шаг 1: Найдем первый член прогрессии:

\( a_1 = \frac{a_6}{q^5} = 3 \cdot \left( \sqrt{2} \right)^5 = 12\sqrt{2};
\)

Шаг 2: Рассчитаем сумму первых 6 членов прогрессии:

\( S_6 = \frac{a_1(1 — q^6)}{1 — q} = \frac{12\sqrt{2} \left( 1 — \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^6 \right)}{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}};
\)

Шаг 3: Упростим выражение:

\( S_6 = \frac{24\sqrt{2} \cdot \left( 1 — \frac{1}{8} \right)}{2 — \sqrt{2}} = \frac{24 \cdot 7}{8(\sqrt{2} — 1)};
\)

Шаг 4: Получаем окончательное значение:

\( S_6 = \frac{3 \cdot 7 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} — 1)(\sqrt{2} + 1)} = 21(\sqrt{2} + 1);
\)

Ответ: \( 21(\sqrt{2} + 1) \).