ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 786 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите нули функции y=x^3-7x+6 и интервалы её знакопостоянства.

Найти все нули и интервалы знакопостоянства функции:
\[
y = x^3 — 7x + 6;
\]

Таблица:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 1 & 0 & -7 & 6 \\
\hline
y & 1 & 1 & -6 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

\[
(x — 1)(x^2 + x — 6) \geq 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\]

\[
(x + 3)(x — 1)(x — 2) \geq 0;
\]

\[
-3 \leq x \leq 1, \, x \geq 2;
\]

Ответ:

\( y = 0 \) при \( x = -3, \, x = 1 \, \text{и} \, x = 2; \)

\( y > 0 \) при \( -3 < x < 1 \, \text{и} \, x > 2; \)

\( y < 0 \) при \( x < -3 \, \text{и} \, 1 < x < 2. \)

Задана функция:

\( y = x^3 — 7x + 6;
\)

Шаг 1: Нули функции

Для нахождения нулей функции решим уравнение \( y = 0 \):

\( x^3 — 7x + 6 = 0;
\)

Используем разложение:

\( (x — 1)(x^2 + x — 6) = 0;
\)

Найдем корни уравнения \( x — 1 = 0 \), что даёт \( x = 1 \), а также корни квадратного уравнения:

\( x^2 + x — 6 = 0 \), находим дискриминант:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,
\)

Теперь находим корни:

\( x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\)

Таким образом, нули функции: \( x = -3, \, x = 1, \, x = 2 \).

Шаг 2: Интервалы знакопостоянства

Теперь рассмотрим знак функции на интервалах, образованных найденными нулями \( x = -3, 1, 2 \).

Разложим выражение функции:

\( (x + 3)(x — 1)(x — 2) \geq 0;
\)

Теперь рассмотрим знаки на интервалах:

При \( x < -3 \), все множители отрицательны, результат \( y < 0 \).

При \( -3 < x < 1 \), множители \( (x + 3) > 0 \), \( (x — 1) < 0 \), \( (x — 2) < 0 \), результат \( y > 0 \).

При \( 1 < x < 2 \), множители \( (x + 3) > 0 \), \( (x — 1) > 0 \), \( (x — 2) < 0 \), результат \( y < 0 \).

При \( x > 2 \), все множители положительны, результат \( y > 0 \).

Ответ:

Нули функции: \( y = 0 \) при \( x = -3, \, x = 1, \, x = 2; \)

Интервалы знакопостоянства:

\( y > 0 \) при \( -3 < x < 1 \, \text{и} \, x > 2; \)

\( y < 0 \) при \( x < -3 \, \text{и} \, 1 < x < 2. \)