ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 785 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Является ли ограниченной функция y=6/(x^2+1)? Укажите наименьшее и наибольшее значения функции, если они существуют.

Задана функция:
\[
y = \frac{6}{x^2 + 1};
\]

Функция ограничена:
\[
x^2 \geq 0, \, x^2 + 1 \geq 1;
\]

\[
0 < \frac{1}{x^2 + 1} \leq 1;
\]

\[
0 < \frac{6}{x^2 + 1} \leq 6;
\]

\[
0 < y \leq 6.
\]

Ответ:

\( y_{\text{наиб}} = 6. \)

Задана функция:

\( y = \frac{6}{x^2 + 1};
\)

Шаг 1: Анализ ограничений функции

Рассмотрим ограничения для функции. Так как \(x^2 \geq 0\), то \(x^2 + 1 \geq 1\). Это даёт следующее:

\( 0 < \frac{1}{x^2 + 1} \leq 1;
\)

Таким образом, \(0 < \frac{6}{x^2 + 1} \leq 6\).

Следовательно, \(0 < y \leq 6\).

Шаг 2: Наибольшее значение функции

Из предыдущего шага видно, что максимальное значение функции \(y = \frac{6}{x^2 + 1}\) достигается, когда \(x = 0\), что приводит к:

\( y_{\text{наиб}} = 6. \)

Ответ: \( y_{\text{наиб}} = 6. \)