ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 783 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Три числа, сумма которых равна 65, составляют геометрическую прогрессию. Если из первого числа вычесть 25, второе оставить без изменения, а к третьему прибавить 5, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Дана последовательность:
\( b_1 + b_2 + b_3 = 65. \)

1) Геометрическая прогрессия:

\[
b_1, \, b_2 = b_1 \cdot q, \, b_3 = b_1 \cdot q^2;
\]

\[
b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 65;
\]

\[
b_1(1 + q + q^2) = 65.
\]

2) Арифметическая прогрессия:

\[
a_1 = b_1 — 25, \, a_2 = b_2, \, a_3 = b_3 + 5;
\]

\[
a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}, \, b_2 = \frac{(b_1 — 25) + (b_3 + 5)}{2};
\]

\[
2b_2 = b_1 + b_3 — 20, \, 2b_1q = b_1 + b_1q^2 — 20;
\]

\[
b_1 + b_1q + b_1q^2 — 3b_1q — 20 = 0;
\]

\[
b_1(1 + q + q^2) — 3b_1q — 20 = 0;
\]

\[
65 — 3b_1q — 20 = 0;
\]

\[
3b_1q = 45, \, b_1q = 15;
\]

\[
b_2 = 15, \, b_1 = \frac{15}{q}.
\]

3) Из первого равенства:

\[
\frac{15}{q}(1 + q + q^2) = 65;
\]

\[
\frac{3}{q} + 3 + 3q = 13;
\]

\[
3q^2 — 10q + 3 = 0;
\]

\[
D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64,
\]

тогда:

\[
q_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}, \, q_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = 3;
\]

\[
b_{1,1} = 15 \cdot 3 = 45, \, b_{1,2} = 15 \cdot \frac{1}{3} = 5;
\]

\[
b_{3,1} = 15 \cdot \frac{1}{3} = 5, \, b_{3,2} = 15 \cdot 3 = 45.
\]

Ответ:

\( 45; 15; 5 \) или \( 5; 15; 45. \)

Задача:

Дана последовательность:

\( b_1 + b_2 + b_3 = 65. \)

Шаг 1: Геометрическая прогрессия

Известно, что \( b_1, b_2 = b_1 \cdot q, b_3 = b_1 \cdot q^2 \). Сложим члены прогрессии:

\[
b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 65;
\]

Выносим \( b_1 \) за скобки:

\[
b_1(1 + q + q^2) = 65.
\]

Шаг 2: Арифметическая прогрессия

Запишем выражения для \( a_1, a_2, a_3 \) через \( b_1 \) и \( q \):

\( a_1 = b_1 — 25, \quad a_2 = b_2, \quad a_3 = b_3 + 5; \)

Используем свойство арифметической прогрессии, что \( a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} \), и подставляем значения для \( b_1, b_2, b_3 \):

\[
b_2 = \frac{(b_1 — 25) + (b_3 + 5)}{2};
\]

Упростим:

\[
2b_2 = b_1 + b_3 — 20, \quad 2b_1q = b_1 + b_1q^2 — 20;
\]

Теперь упростим выражение для \( b_2 \):

\[
b_1 + b_1q + b_1q^2 — 3b_1q — 20 = 0;
\]

Упростим:

\[
b_1(1 + q + q^2) — 3b_1q — 20 = 0;
\]

Подставим из шага 1 значение \( b_1(1 + q + q^2) = 65 \):

\[
65 — 3b_1q — 20 = 0;
\]

Решим для \( b_1q \):

\[
3b_1q = 45, \quad b_1q = 15;
\]

Теперь, \( b_2 = 15 \), и мы получаем: \( b_1 = \frac{15}{q}. \)

Шаг 3: Подставим значение \( b_1 \) в уравнение для \( b_1(1 + q + q^2) = 65 \)

Подставляем \( b_1 = \frac{15}{q} \) в уравнение:

\[
\frac{15}{q}(1 + q + q^2) = 65;
\]

Упростим:

\[
\frac{3}{q} + 3 + 3q = 13;
\]

Приводим к квадратному уравнению:

\[
3q^2 — 10q + 3 = 0;
\]

Теперь находим дискриминант:

\[
D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64,
\]

Корни уравнения:

\[
q_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = 0.6, \quad q_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3;
\]

Шаг 4: Искомые числа

Для \( q_1 = 0.6 \), находим \( b_1 \):

\( b_1 = 15 \cdot 3 = 45;
\)

Теперь вычислим члены прогрессии:

\( b_2 = 15, \quad b_3 = 15 \cdot 3 = 45;
\)

\( b_4 = 15 \cdot 3 = 45.
\)

Ответ: \( 45; 15; 5 \) или \( 5; 15; 45.\)