ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 781 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите четыре целых числа, из которых первые три составляют геометрическую профессию, а последние три составляют арифметическую прогрессию, если известно, что сумма двух средних чисел равна 12, а сумма двух крайних чисел равна 14.

Дано:

\( a_2 + a_3 = 12, \, a_1 + a_4 = 14. \)

1) Геометрическая прогрессия:
\[
a_2 = a_1 \cdot q, \, a_3 = a_1 \cdot q^2;
\]

\[
a_1q + a_1q^2 = 12, \, a_1q(1 + q) = 12;
\]

\[
a_1q = \frac{12}{1 + q}, \, a_1 = \frac{12}{q(1 + q)}.
\]

2) Арифметическая прогрессия:

\[
d = a_3 — a_2 = a_1q^2 — a_1q = a_1q(q — 1);
\]

\[
a_4 = a_3 + d = a_1q^2 + a_1q(q — 1).
\]

3) Второе равенство:
\[
a_1 + a_1q^2 + a_1q(q — 1) = 14;
\]

\[
\frac{12}{1 + q} + \frac{12q}{1 + q} + \frac{12(q — 1)}{1 + q} = 14;
\]

\[
6 + 6q^2 + 6q(q — 1) = 7q(1 + q);
\]

\[
6 + 6q^2 + 6q^2 — 6q = 7q + 7q^2;\]

\[
5q^2 — 13q + 6 = 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = 13^2 — 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 — 120 = 49,
\]

тогда:

\[
q_1 = \frac{13 — 7}{2 \cdot 5} = 0.6, \, q_2 = \frac{13 + 7}{2 \cdot 5} = 2.
\]

4) Все искомые числа:
\[
a_1 = \frac{12}{2(1 + 2)} = \frac{12}{2 \cdot 3} = 2;
\]

\[
a_2 = a_1 \cdot q = 2 \cdot 2 = 4;
\]

\[
a_3 = a_2 \cdot q = 4 \cdot 2 = 8;
\]

\[
a_4 = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 2 \cdot 1 = 12.
\]

Ответ:

\( 2; \, 4; \, 8; \, 12. \)

Задача:

Дано:

\( a_2 + a_3 = 12, \quad a_1 + a_4 = 14. \)

Шаг 1: Геометрическая прогрессия

Запишем уравнения для \( a_2 \) и \( a_3 \) через \( a_1 \) и знаменатель прогрессии \( q \):

\( a_2 = a_1 \cdot q, \quad a_3 = a_1 \cdot q^2;
\)

Сложим эти выражения для \( a_2 \) и \( a_3 \), используя данное условие \( a_2 + a_3 = 12 \):

\( a_1q + a_1q^2 = 12, \quad a_1q(1 + q) = 12;
\)

Теперь выразим \( a_1 \) через \( q \):

\( a_1q = \frac{12}{1 + q}, \quad a_1 = \frac{12}{q(1 + q)}.
\)

Шаг 2: Арифметическая прогрессия

Запишем разность арифметической прогрессии \( d \), используя \( a_2 \) и \( a_3 \):

\( d = a_3 — a_2 = a_1q^2 — a_1q = a_1q(q — 1);
\)

Теперь выразим \( a_4 \) как сумму \( a_3 \) и \( d \):

\( a_4 = a_3 + d = a_1q^2 + a_1q(q — 1).
\)

Шаг 3: Подставим выражение для \( a_1 \) в равенство для \( a_4 \)

Запишем второе равенство из условия \( a_1 + a_1q^2 + a_1q(q — 1) = 14 \):

\( \frac{12}{1 + q} + \frac{12q}{1 + q} + \frac{12(q — 1)}{1 + q} = 14;
\)

Упростим выражение:

\( 6 + 6q^2 + 6q(q — 1) = 7q(1 + q);
\)

Раскроем скобки и упростим:

\( 6 + 6q^2 + 6q^2 — 6q = 7q + 7q^2;
\)

Получаем квадратное уравнение:

\( 5q^2 — 13q + 6 = 0;
\)

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения

Для уравнения \( 5q^2 — 13q + 6 = 0 \) находим дискриминант:

\( D = (-13)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 — 120 = 49;
\)

Теперь находим корни:

\( q_1 = \frac{13 — 7}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = 0.6, \quad q_2 = \frac{13 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2;
\)

Шаг 5: Вычислим значения для \( b_1, b_2, b_3, b_4 \)

Для \( q_1 = 0.6 \), находим \( a_1 \):

\( b_1 = \frac{12}{2(1 + 0.6)} = \frac{12}{2 \cdot 1.6} = 3;
\)

Теперь вычислим члены прогрессии:

\( b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot 0.6 = 1.8;
\)

\( b_3 = b_2 \cdot q = 1.8 \cdot 0.6 = 1.08;
\)

\( b_4 = b_3 \cdot q = 1.08 \cdot 0.6 = 0.648;
\)

Ответ: 3, 1.8, 1.08, 0.648.

Ответ: \( b_1 = 3, \ b_2 = 1.8, \ b_3 = 1.08, \ b_4 = 0.648 \).