ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 780 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию, то:

а) a^2 b^2 c^2 (1/a^3+1/b^3+1/c^3)=a^3+b^3+c^3;

б) (a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2.

Геометрическая прогрессия:
\( a = b_1, \, b = b_1 \cdot q, \, c = b_1 \cdot q^2; \)

а)
\[
a^2b^2c^2 \left( \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \right) =\]

\[\frac{b_1^2c^2}{a^3} + \frac{a^2c^2}{b^3} + \frac{a^2b^2}{c^3} =\]

\[\frac{b_1^2 \cdot q^4}{b_1} + \frac{b_1^2 \cdot q}{b_1q^4} + \frac{b_1^2 \cdot q^2}{b_1q^2} =\]

\[b_1^2q^6 + b_1^2q^3 + b_1^2 = c^3 + b^3 + a^3;
\]

Что и требовалось доказать.

б)
\[
(a + b + c)(a — b + c) =\]

\[(b_1 + b_1q + b_1q^2)(b_1 — b_1q + b_1q^2) =\]

\[b_1^2(1 + q + q^2)(1 — q + q^2) = b_1^2((1 + q^2)^2 — q^2) =\]

\[b_1^2(1 + 2q^2 + q^4 — q^2) = b_1^2(1 + q^2 + q^4) =\]

\[b_1^2 + b_1^2q^2 + b_1^2q^4 = a^2 + b^2 + c^2;
\]

Что и требовалось доказать.

Задача:

Дана геометрическая прогрессия:

\( a = b_1, \, b = b_1 \cdot q, \, c = b_1 \cdot q^2; \)

a) Доказать следующее равенство:

\( a^2b^2c^2 \left( \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \right) \)

Подставим выражения для \(a\), \(b\), \(c\) из геометрической прогрессии:

\( a^2b^2c^2 \left( \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \right) = \)

\( \frac{b_1^2c^2}{a^3} + \frac{a^2c^2}{b^3} + \frac{a^2b^2}{c^3} = \)

Подставим значения для \( a = b_1, b = b_1 \cdot q, c = b_1 \cdot q^2 \):

\( \frac{b_1^2 \cdot q^4}{b_1} + \frac{b_1^2 \cdot q}{b_1 q^4} + \frac{b_1^2 \cdot q^2}{b_1 q^2} = \)

Упростим выражение:

\( b_1^2 q^6 + b_1^2 q^3 + b_1^2 = c^3 + b^3 + a^3;
\)

Ответ: Мы доказали, что \( a^2b^2c^2 \left( \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \right) = c^3 + b^3 + a^3. \)

b) Доказать следующее равенство:

\( (a + b + c)(a — b + c) \)

Рассмотрим произведение \( (a + b + c)(a — b + c) \):

\( (b_1 + b_1q + b_1q^2)(b_1 — b_1q + b_1q^2) = \)

Вынесем \( b_1^2 \) за скобки:

\( b_1^2(1 + q + q^2)(1 — q + q^2) = \)

Теперь упростим выражение:

\( b_1^2((1 + q^2)^2 — q^2) = \)

\( b_1^2(1 + 2q^2 + q^4 — q^2) = \)

Упростим еще раз:

\( b_1^2(1 + q^2 + q^4) = \)

\( b_1^2 + b_1^2q^2 + b_1^2q^4 = a^2 + b^2 + c^2;
\)

Ответ: Мы доказали, что \( (a + b + c)(a — b + c) = a^2 + b^2 + c^2. \)