ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 779 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию, а числа a+b, b+c, c+a образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель данной геометрической прогрессии.

Арифметическая прогрессия:

\( a + b, \, b + c, \, c + a; \)

1) Геометрическая прогрессия:

\( a = b_1, \, b = b_1 \cdot q, \, c = b_1 \cdot q^2; \)

2) По свойству прогрессии:

\[
b + c = \frac{(a + b) + (c + a)}{2};
\]

\( 2b + 2c = 2a + b + c; \)

\( c + b — 2a = 0; \)

\( b_1 \cdot q^2 + b_1 \cdot q — 2b_1 = 0; \)

\( q^2 + q — 2 = 0; \)

\( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \) тогда:

\[
q_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad q_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\]

Ответ: \(-2; 1.\)

Задача:

Дана арифметическая прогрессия:

\( a + b, \ b + c, \ c + a; \)

Шаг 1: Рассмотрим геометрическую прогрессию:

\( a = b_1, \ b = b_1 \cdot q, \ c = b_1 \cdot q^2; \)

Шаг 2: По свойству прогрессии:

Запишем выражение для суммы:

\( b + c = \frac{(a + b) + (c + a)}{2};
\)

Умножим обе части на 2:

\( 2b + 2c = 2a + b + c;
\)

Преобразуем и упростим:

\( c + b — 2a = 0;
\)

Подставим выражения для \( b \) и \( c \):

\( b_1 \cdot q^2 + b_1 \cdot q — 2b_1 = 0;
\)

Разделим обе части на \( b_1 \):

\( q^2 + q — 2 = 0;
\)

Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение для \( q \):

Для уравнения \( q^2 + q — 2 = 0 \) находим дискриминант:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9;
\)

Тогда корни уравнения:

\( q_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad q_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)

Ответ: \( q = -2 \) или \( q = 1 \).