ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 778 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией со знаменателем q, не равным 1, то последовательность (x_n), где x_n=b_(n+1)-b_n, также является геометрической прогрессией со знаменателем q.

Геометрическая прогрессия:

\( b_n, \, q, \, x_n = b_{n+1} — b_n; \)

Соотношение соседних членов:
\( x_{n+1} = b_{n+2} — b_{n+1} = b_1 \cdot q^{n+1} — b_1 \cdot q^n; \)

\( x_n = b_{n+1} — b_n = b_1 \cdot q^n — b_1 \cdot q^{n-1}; \)

\[
\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{b_1 \cdot q^n \cdot (q — 1)}{b_1 \cdot q^{n-1} \cdot (q — 1)} = \frac{q \cdot (q — 1)}{q — 1} = q;
\]

Что и требовалось доказать.

Задача:

Дана геометрическая прогрессия:

\( b_n, \ q, \ x_n = b_{n+1} — b_n; \)

Соотношение соседних членов:

Запишем разность соседних членов прогрессии:

\( x_{n+1} = b_{n+2} — b_{n+1} = b_1 \cdot q^{n+1} — b_1 \cdot q^n;
\)

Теперь запишем выражение для \( x_n \):

\( x_n = b_{n+1} — b_n = b_1 \cdot q^n — b_1 \cdot q^{n-1};
\)

Теперь найдем отношение \( \frac{x_{n+1}}{x_n} \):

Подставим выражения для \( x_{n+1} \) и \( x_n \):

\( \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{b_1 \cdot q^n \cdot (q — 1)}{b_1 \cdot q^{n-1} \cdot (q — 1)} = \frac{q \cdot (q — 1)}{q — 1} = q;
\)

Ответ: Мы доказали, что \( \frac{x_{n+1}}{x_n} = q \).