ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 776 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите четыре числа, составляющие возрастающую геометрическую профессию, если известно, что разность между четвёртым и первым членами равна 744, а разность между третьим и вторым членами равна 120.

В геометрической прогрессии:
\(b_4 — b_1 = 744,\)

\(b_3 — b_2 = 120;\)

1) Из второго равенства:
\[
b_1 \cdot q^2 — b_1 \cdot q = 120;\]

\[b_1 \cdot q \cdot (q — 1) = 120;\]

\[b_1 \cdot (q — 1) = \frac{120}{q};
\]

2) Из первого равенства:
\[
b_1 \cdot q^3 — b_1 = 744, \ |q| > 1;\]

\[b_1 \cdot (q^3 — 1) = 744;\]

\[b_1 \cdot (q — 1) \cdot (q^2 + q + 1) = 744;\]

\[\frac{120}{q} \cdot (q^2 + q + 1) = 744;
\]

\[
5q^2 — 26q + 5 = 0;
\]

\[
D = 26^2 — 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 — 100 = 576,
\]

тогда:

\[
q_1 = \frac{26 — 24}{2 \cdot 5} = 0,2, \quad
q_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = 5.
\]

3) Из второго равенства:

\[
b_1 \cdot 5 \cdot 4 = 120, \ b_1 = 6;\]

\[b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot 5 = 30;\]

\[b_3 = b_2 \cdot q = 30 \cdot 5 = 150;\]

\[b_4 = b_3 \cdot q = 150 \cdot 5 = 750.
\]

Ответ: \(6; 30; 150; 750.\)

Задача:

Дана геометрическая прогрессия с уравнениями:

\( b_1 + b_4 = 135, \quad b_2 + b_3 = 90; \)

Шаг 1: Из второго уравнения:

Запишем уравнение для разности \( b_2 + b_3 = 90 \):

\( b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 90;
\)

Вынесем \( b_1 \) за скобки:

\( b_1 \cdot q \cdot (1 + q) = 90;
\)

Теперь поделим обе части на \( q \):

\( b_1 \cdot (1 + q) = \frac{90}{q};
\)

Шаг 2: Из первого уравнения:

Запишем уравнение для разности \( b_4 — b_1 = 135 \):

\( b_1 + b_1 \cdot q^3 = 135, \quad |q| > 1;
\)

Вынесем \( b_1 \) за скобки:

\( b_1 \cdot (q^3 — 1) = 135;
\)

Теперь получаем следующее выражение:

\( b_1 \cdot (q — 1) \cdot (q^2 + q + 1) = 135;
\)

Подставим из первого уравнения значение \( b_1 \cdot (q — 1) = \frac{90}{q} \):

\( \frac{90}{q} \cdot (q^2 + q + 1) = 135;
\)

Умножим обе части на \( q \):

\( 90 \cdot (q^2 + q + 1) = 135q;
\)

Получаем квадратное уравнение:

\( 5q^2 — 26q + 5 = 0;
\)

Шаг 3: Рассчитываем дискриминант:

\( D = 26^2 — 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 — 100 = 576;
\)

Теперь находим корни уравнения для \( q \):

\( q_1 = \frac{26 — 24}{2 \cdot 5} = 0,2, \quad q_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = 5;
\)

Шаг 4: Находим значения для \( b_1, b_2, b_3, b_4 \):

Подставляем \( q = 5 \) в уравнение для \( b_1 \):

\( b_1 \cdot 5 \cdot 4 = 120, \quad b_1 = 6;
\)

Теперь находим остальные члены прогрессии:

\( b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot 5 = 30; \)

\( b_3 = b_2 \cdot q = 30 \cdot 5 = 150; \)

\( b_4 = b_3 \cdot q = 150 \cdot 5 = 750; \)

Ответ: \( b_1 = 6, \ b_2 = 30, \ b_3 = 150, \ b_4 = 750. \)