ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 775 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Четыре числа составляют убывающую геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если известно, что сумма крайних членов равна 135, а сумма средних членов равна 90.

В геометрической прогрессии:
\(b_1 + b_4 = 135,\)

\(b_2 + b_3 = 90;\)

1) Из второго равенства:
\[b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 90;\]

\[b_1 \cdot q \cdot (1 + q) = 90;\]

\[b_1 \cdot (1 + q) = \frac{90}{q};\]

2) Из первого равенства:
\[
b_1 + b_1 \cdot q^3 = 135, \ |q| < 1;\]

\[b_1 \cdot (1 + q^3) = 135;\]

\[b_1 \cdot (1 + q) \cdot (1 — q + q^2) = 135;\]

\[\frac{90}{q} \cdot (1 — q + q^2) = 135;\]

\[
\frac{90}{q} — \frac{90}{q} \cdot q + \frac{90}{q} \cdot q^2 = 135;
\]

\[
2q^2 — 5q + 2 = 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9,
\]

тогда:
\[
q_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \quad\]

\[q_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}.\]

3) Из второго равенства:
\[
b_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = 90, \ b_1 = 120;
\]

\[
b_2 = b_1 \cdot q = 120 \cdot \frac{1}{2} = 60;\]

\[b_3 = b_2 \cdot q = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30;\]

\[b_4 = b_3 \cdot q = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15.\]

Ответ: \(120; 60; 30; 15.\)

Задача:

Дана геометрическая прогрессия:

\( b_1 + b_4 = 135, \quad b_2 + b_3 = 90; \)

1) Из второго равенства:

Запишем уравнение для \( b_2 + b_3 = 90 \):

\( b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 90; \)

Вынесем \( b_1 \) за скобки:

\( b_1 \cdot q \cdot (1 + q) = 90; \)

Поделим обе части на \( q \):

\( b_1 \cdot (1 + q) = \frac{90}{q}; \)

2) Из первого равенства:

Запишем уравнение для \( b_1 + b_4 = 135 \):

\( b_1 + b_1 \cdot q^3 = 135, \quad |q| < 1; \)

Вынесем \( b_1 \) за скобки:

\( b_1 \cdot (1 + q^3) = 135; \)

Используем выражение для \( b_1 \):

\( b_1 \cdot (1 + q) \cdot (1 — q + q^2) = 135; \)

Подставим полученное выражение для \( b_1 \) в это уравнение:

\( \frac{90}{q} \cdot (1 — q + q^2) = 135; \)

Упростим уравнение:

\( \frac{90}{q} — \frac{90}{q} \cdot q + \frac{90}{q} \cdot q^2 = 135; \)

Приводим подобные слагаемые:

\( 2q^2 — 5q + 2 = 0; \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение для \( q \):

Дискриминант:

\( D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9; \)

Теперь находим корни уравнения:

\( q_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \quad q_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}. \)

4) Находим значения для \( b_1, b_2, b_3, b_4 \):

Подставим \( q = \frac{1}{2} \) в уравнение для \( b_1 \):

\( b_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = 90, \quad b_1 = 120; \)

Теперь находим значения для \( b_2, b_3, b_4 \):

\( b_2 = b_1 \cdot q = 120 \cdot \frac{1}{2} = 60; \)

\( b_3 = b_2 \cdot q = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30; \)

\( b_4 = b_3 \cdot q = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15; \)

Ответ: \( b_1 = 120, \ b_2 = 60, \ b_3 = 30, \ b_4 = 15. \)