ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 773 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите три положительных числа, составляющих геометрическую прогрессию, если известно, что их сумма равна 42, а сумма обратных им чисел равна 21/32.

Дана геометрическая прогрессия:

\(b_1 + b_2 + b_3 = 42,\)

\(\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \frac{1}{b_3} = \frac{21}{32};\)

1) Из первого равенства:

\(b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 42;\)

\(b_1 \cdot (1 + q + q^2) = 42;\)

2) Из второго равенства:
\[
\frac{b_2 b_3 + b_1 b_3 + b_1 b_2}{b_1 b_2 b_3} = \frac{21}{32};
\]

\[
\frac{(b_1 \cdot q)(b_1 \cdot q^2) + b_1 \cdot (b_1 \cdot q^2) + b_1 \cdot (b_1 \cdot q)}{b_1 \cdot (b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^2)} = \frac{21}{32};
\]

\[
\frac{b_1^3 \cdot q^3 + b_1^3 \cdot q^2 + b_1^3 \cdot q}{b_1^3 \cdot q^3} = \frac{21}{32};
\]

\[
\frac{1 + q + q^2}{q^2} = \frac{21}{32};
\]

\[
42 \cdot \frac{1}{q^2} = \frac{21}{32};
\]

\[
(b_1 \cdot q)^2 = 64, \ b_1 \cdot q = 8, \ b_1 = \frac{8}{q}.
\]

3) Из первого равенства:

\[
\frac{8}{q} \cdot (1 + q + q^2) = 42;
\]

\[
\frac{4}{q} + 4 + 4q = 21;
\]

\[
4q — 17 + \frac{4}{q} = 0;
\]

\[
4q^2 — 17q + 4 = 0;
\]

\[
D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225,
\]

тогда:

\[
q_1 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = 2, \ q_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = 4;
\]

\[
b_{1,1} = 8 \cdot 4 = 32, \ b_{1,2} = \frac{8}{4} = 2;
\]

\[
b_{2,1} = 32 \cdot \frac{1}{4} = 8, \ b_{2,2} = 2 \cdot 4 = 8;
\]

\[
b_{3,1} = 8 \cdot 4 = 32, \ b_{3,2} = 8 \cdot 4 = 32.
\]

Ответ: \(32; \ 8; \ 2 \ \text{или} \ 2; \ 8; \ 32.\)

Дана геометрическая прогрессия:

\( b_1 + b_2 + b_3 = 42, \quad \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \frac{1}{b_3} = \frac{21}{32}; \)

1) Из первого равенства:

Запишем сумму первых трех членов прогрессии, используя \( b_2 = b_1 \cdot q \) и \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \):

\( b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 42 \);

Вынесем \( b_1 \) за скобки:

\( b_1 \cdot (1 + q + q^2) = 42; \)

2) Из второго равенства:

Запишем второе уравнение для обратных членов прогрессии:

\[
\frac{b_2 b_3 + b_1 b_3 + b_1 b_2}{b_1 b_2 b_3} = \frac{21}{32};
\]

Подставим значения \( b_2 = b_1 \cdot q \) и \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \) в числитель и знаменатель:

\[
\frac{(b_1 \cdot q)(b_1 \cdot q^2) + b_1 \cdot (b_1 \cdot q^2) + b_1 \cdot (b_1 \cdot q)}{b_1 \cdot (b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^2)} = \frac{21}{32};
\]

Упростим выражение:

\[
\frac{b_1^3 \cdot q^3 + b_1^3 \cdot q^2 + b_1^3 \cdot q}{b_1^3 \cdot q^3} = \frac{21}{32};
\]

Сократим \( b_1^3 \cdot q^3 \) и получаем:

\[
\frac{1 + q + q^2}{q^2} = \frac{21}{32};
\]

Умножим обе части на \( q^2 \):

\[
1 + q + q^2 = \frac{21}{32} \cdot q^2;
\]

Решаем для \( q^2 \):

\[
42 \cdot \frac{1}{q^2} = \frac{21}{32};
\]

Теперь можно найти значение \( q \):

\[
(b_1 \cdot q)^2 = 64, \quad b_1 \cdot q = 8, \quad b_1 = \frac{8}{q}.
\]

3) Из первого равенства:

Теперь, используя найденные значения, подставим в уравнение:

\[
\frac{8}{q} \cdot (1 + q + q^2) = 42;
\]

Умножим и упростим:

\[
\frac{4}{q} + 4 + 4q = 21;
\]

Теперь решим это уравнение для \( q \):

\[
4q — 17 + \frac{4}{q} = 0;
\]

Переносим все в одну сторону:

\[
4q^2 — 17q + 4 = 0;
\]

Теперь вычислим дискриминант:

\[
D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225.
\]

Найдем корни уравнения для \( q \):

\[
q_1 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = 2, \quad q_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = 4;
\]

Теперь, используя значение \( q \), находим \( b_1 \):

\[
b_{1,1} = 8 \cdot 4 = 32, \quad b_{1,2} = \frac{8}{4} = 2;
\]

Подставим в уравнение для остальных членов:

\[
b_{2,1} = 32 \cdot \frac{1}{4} = 8, \quad b_{2,2} = 2 \cdot 4 = 8;
\]

И для третьего члена:

\[
b_{3,1} = 8 \cdot 4 = 32, \quad b_{3,2} = 8 \cdot 4 = 32.\]

Ответ: \( 32; \ 8; \ 2 \ \text{или} \ 2; \ 8; \ 32. \)