ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 771 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию? При положительном ответе укажите знаменатель прогрессии.

В прямоугольном треугольнике:

\(a, \ b, \ c^2 = a^2 + b^2, \ a < b < c;\)

В геометрической прогрессии:

\(x_1 = a, \ x_2 = a \cdot q, \ x_3 = a \cdot q^2;\)

\(x_3 = x_2 + x_2, \ q > 1;\)

\(a^2 \cdot q^4 = a^2 + a^2 \cdot q^2;\)

\(q^4 = 1 + q^2, \ q^4 — q^2 — 1 = 0;\)

\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5,\) тогда:

\[
q^2 = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}, \ q = \frac{1 + \sqrt{5}}{2};
\]

\[
q = \sqrt{\frac{2 + 2\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2(1 + \sqrt{5})};
\]

Ответ: \(\frac{1}{2} \sqrt{2(1 + \sqrt{5})}.\)

Задача:

В прямоугольном треугольнике:

\( a, \ b, \ c^2 = a^2 + b^2, \quad a < b < c;

В геометрической прогрессии:

Даны элементы геометрической прогрессии:
\[
x_1 = a, \quad x_2 = a \cdot q, \quad x_3 = a \cdot q^2;
\]

Также известно, что \( x_3 = x_2 + x_2 \), что означает, что \( x_3 = 2 \cdot x_2 \). Подставим это в формулы:
\[
a \cdot q^2 = 2a \cdot q.
\]

Теперь, разделим обе части на \( a \) (так как \( a \neq 0 \)):
\[
q^2 = 2q.
\]

Приведем уравнение к стандартному виду:
\[
q^2 — 2q = 0.
\]

Вынесем общий множитель:
\[
q(q — 2) = 0.
\]

Таким образом, \( q = 0 \) или \( q = 2 \). Так как \( q \) должно быть больше 1, выбираем \( q = 2 \).

Ответ: Знаменатель прогрессии \( q = 2 \).

Шаг 2: Решим уравнение с использованием теоремы Пифагора. Для геометрической прогрессии мы получаем следующее уравнение:
\[
a^2 \cdot q^4 = a^2 + a^2 \cdot q^2.
\]

Разделим обе части на \( a^2 \) (так как \( a \neq 0 \)):
\[
q^4 = 1 + q^2.
\]

Перепишем это уравнение:
\[
q^4 — q^2 — 1 = 0.
\]

Это квадратное уравнение относительно \( q^2 \). Решим его с помощью дискриминанта:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5.
\]

Теперь находим корни уравнения:
\[
q^2 = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
\]

Так как \( q > 1 \), выбираем положительное значение:
\[
q = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.
\]

Ответ: \( q = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \).

Шаг 3: Представим \( q \) в другом виде, используя алгебраическое преобразование:
\[
q = \sqrt{\frac{2 + 2\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2(1 + \sqrt{5})}.
\]

Таким образом, значение знаменателя прогрессии \( q \) можно записать как:
\[
q = \frac{1}{2} \sqrt{2(1 + \sqrt{5})}.
\]

Итоговый ответ: \( q = \frac{1}{2} \sqrt{2(1 + \sqrt{5})}. \)