ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 769 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Является ли геометрической прогрессией последовательность (c_n), заданная формулой:

а) c_n=3^n; б) c_n=-1,5·2^n; в) c_n=2^n+5^n?

При положительном ответе укажите первый член и знаменатель прогрессии.

Геометрическая прогрессия:
\(c_n = c_1 \cdot q^{n-1}, \ q = \frac{c_{n+1}}{c_n};\)

a) \(c_n = 3^n;\)

\(c_1 = 3^1 = 3;\)

\(q = \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3;\)

Ответ: \(c_1 = 3; \ q = 3.\)

b) \(c_n = -1,5 \cdot 2^n;\)

\(c_1 = -1,5 \cdot 2^1 = -3;\)

\(q = \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{-1,5 \cdot 2^{n+1}}{-1,5 \cdot 2^n} = 2;\)

Ответ: \(c_1 = -3; \ q = 2.\)

c) \(c_n = 2^n + 5^n;\)

\(c_1 = 2^1 + 5^1 = 2 + 5 = 7;\)

\(c_2 = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29;\)

\(c_3 = 2^3 + 5^3 = 8 + 125 = 133;\)

\(q = \frac{c_3}{c_2} \neq \frac{c_2}{c_1};\)

Ответ: нет.

Геометрическая прогрессия:

Для геометрической прогрессии действует формула \( c_n = c_1 \cdot q^{n-1} \), где \( c_1 \) — первый член прогрессии, \( q \) — знаменатель прогрессии (коэффициент прогрессии), и отношение \( q = \frac{c_{n+1}}{c_n} \).

a) \( c_n = 3^n; \)

Шаг 1: Найдем первый член прогрессии \( c_1 \):
\[
c_1 = 3^1 = 3.
\]

Для нахождения знаменателя прогрессии \( q \), используем отношение \( q = \frac{c_{n+1}}{c_n} \):
\[
q = \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3.
\]

Ответ: \( c_1 = 3; \ q = 3. \)

b) \( c_n = -1,5 \cdot 2^n; \)

Шаг 1: Найдем первый член прогрессии \( c_1 \):
\[
c_1 = -1,5 \cdot 2^1 = -3.
\]

Теперь найдем знаменатель прогрессии \( q \), используя отношение \( q = \frac{c_{n+1}}{c_n} \):
\[
q = \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{-1,5 \cdot 2^{n+1}}{-1,5 \cdot 2^n} = 2.
\]

Ответ: \( c_1 = -3; \ q = 2. \)

в) \( c_n = 2^n + 5^n; \)

Шаг 1: Найдем первый член прогрессии \( c_1 \):
\[
c_1 = 2^1 + 5^1 = 2 + 5 = 7.
\]

Далее, для проверки прогрессии, найдем следующие члены:
\[
c_2 = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29,
\]

\[
c_3 = 2^3 + 5^3 = 8 + 125 = 133.
\]

Теперь проверим отношение \( q \). Для геометрической прогрессии должно быть \( \frac{c_3}{c_2} = \frac{c_2}{c_1} \), но:

\[
q = \frac{c_3}{c_2} = \frac{133}{29} \approx 4,59, \quad q = \frac{c_2}{c_1} = \frac{29}{7} \approx 4,14.
\]

Так как эти значения не равны, то последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: нет.