ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 764 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Начиная с какого номера члены геометрической прогрессии

а) 32, 16, 8, … меньше 0,01; б) 1/3, 2/3, 4/3, … больше 50?

В геометрической прогрессии:

a) \(32; 16; 8; \ldots;\ b_n < 0,01;\)

\(b_1 = 32, \ b_2 = 16, \ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{2};\)

\(b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n < 0,01;\)

\(2^6 \cdot 2^{-n} < 0,01, \ 2^{6-n} < 2^{-6};\)

\(6 — n < -6, \ n > 6 + 6 = 12;\)

Ответ: 13.

б) \(\frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{4}{3}; \ldots;\ b_n > 50;\)

\(b_1 = \frac{1}{3}, \ b_2 = \frac{2}{3}, \ q = \frac{b_2}{b_1} = 2;\)

\(b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{1}{3} \cdot 2^{n-1}, \ \frac{1}{3} \cdot 2^{n-1} > 50;\)

\(2^{n-1} > 50 \cdot 3 = 150;\)

\(2^n > 300, \ 2^n > 2^8, \ n > 8;\)
Ответ: 9.

В геометрической прогрессии:

a) \(32; 16; 8; \ldots; \quad b_n < 0,01;\)

Шаг 1: Даны первые два элемента прогрессии: \( b_1 = 32, \, b_2 = 16 \), и коэффициент прогрессии:
\[
q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}.
\]

Теперь применим формулу для общего члена геометрической прогрессии:
\[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.
\]

Нам нужно найти \( n \), при котором \( b_n < 0,01 \).

Шаг 2: Подставим значение \( b_n \) в неравенство:
\[
32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n < 0,01.
\]

Перепишем неравенство:
\[
2^5 \cdot 2^{-n} < 0,01.
\]

Теперь упростим:
\[
2^{6-n} < 2^{-6}.
\]

Сравниваем степени двойки:
\[
6 — n < -6, \quad n > 12.
\]

Ответ: \( n = 13 \).

б) \( \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{4}{3}; \ldots; \quad b_n > 50;\)

Шаг 1: Даны первые два элемента прогрессии: \( b_1 = \frac{1}{3}, \, b_2 = \frac{2}{3} \), и коэффициент прогрессии:
\[
q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2.
\]

Теперь применим формулу для общего члена прогрессии:
\[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{1}{3} \cdot 2^{n-1}.
\]

Нам нужно найти \( n \), при котором \( b_n > 50 \).

Шаг 2: Подставим значение \( b_n \) в неравенство:
\[
\frac{1}{3} \cdot 2^{n-1} > 50.
\]

Умножим обе части неравенства на 3:
\[
2^{n-1} > 150.
\]

Теперь применим логарифм или просто видим, что:
\[
2^n > 300.
\]

Таким образом, \( 2^n > 2^8 \), следовательно, \( n > 8 \).

Ответ: \( n = 9 \).