ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 763 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Встретится ли среди членов геометрической прогрессии 2, 6, 18, … число: а) 54; б) 486; в) 72; г) 576?

Если число является членом данной геометрической прогрессии, то укажите его номер.

Геометрическая прогрессия:
\(2; 6; 18; \ldots;\)

\(b_1 = 2, \quad b_2 = 6, \quad q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{2} = 3;\)

\(b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1} = \frac{2}{3} \cdot 3^n;\)

a) \(b_n = 54;\)

\(\frac{2}{3} \cdot 3^n = 54;\)

\(3^n = 54 \cdot \frac{3}{2} = 81;\)

\(3^n = 3^4, \quad n = 4;\)

Ответ: 4.

б) \(b_n = 486;\)

\(\frac{2}{3} \cdot 3^n = 486;\)

\(3^n = 486 \cdot \frac{3}{2} = 729;\)

\(3^n = 3^6, \quad n = 6;\)

Ответ: 6.

в) \(b_n = 72;\)

\(\frac{2}{3} \cdot 3^n = 72;\)

\(3^n = 72 \cdot \frac{3}{2} = 108;\)

\(81 < 3^n < 243;\)

\(3^3 < 3^n < 3^4;\)

\(3 < n < 4, \quad n \notin \mathbb{N};\)

Ответ: нет.

г) \(b_n = 576;\)

\(\frac{2}{3} \cdot 3^n = 576;\)

\(3^n = 576 \cdot \frac{3}{2} = 864;\)

\(729 < 3^n < 2187;\)

\(3^6 < 3^n < 3^7;\)

\(6 < n < 7, \quad n \notin \mathbb{N};\)

Ответ: нет.

Геометрическая прогрессия:

\( 2; 6; 18; \ldots; \)

Начальный элемент: \( b_1 = 2, \quad b_2 = 6, \quad q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{2} = 3; \)

Формула для \( n \)-го члена прогрессии:
\[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1} = \frac{2}{3} \cdot 3^n.
\]

a) Найдем \( n \) при \( b_n = 54 \):

Подставим \( b_n = 54 \) в формулу:

\[
\frac{2}{3} \cdot 3^n = 54.
\]

Умножим обе части на \( \frac{3}{2} \):
\[
3^n = 54 \cdot \frac{3}{2} = 81.
\]

Теперь решим для \( n \):
\[
3^n = 3^4, \quad n = 4.
\]

Ответ: \( n = 4 \).

b) Найдем \( n \) при \( b_n = 486 \):

Подставим \( b_n = 486 \) в формулу:

\[
\frac{2}{3} \cdot 3^n = 486.
\]

Умножим обе части на \( \frac{3}{2} \):
\[
3^n = 486 \cdot \frac{3}{2} = 729.
\]

Теперь решим для \( n \):
\[
3^n = 3^6, \quad n = 6.
\]

Ответ: \( n = 6 \).

в) Найдем \( n \) при \( b_n = 72 \):

Подставим \( b_n = 72 \) в формулу:

\[
\frac{2}{3} \cdot 3^n = 72.
\]

Умножим обе части на \( \frac{3}{2} \):
\[
3^n = 72 \cdot \frac{3}{2} = 108.
\]

Теперь рассмотрим диапазон значений для \( 3^n \):
\[
81 < 3^n < 243.
\]

Это означает, что:
\[
3^3 < 3^n < 3^4, \quad 3 < n < 4, \quad n \notin \mathbb{N}.
\]

Ответ: нет.

г) Найдем \( n \) при \( b_n = 576 \):

Подставим \( b_n = 576 \) в формулу:

\[
\frac{2}{3} \cdot 3^n = 576.
\]

Умножим обе части на \( \frac{3}{2} \):
\[
3^n = 576 \cdot \frac{3}{2} = 864.
\]

Теперь рассмотрим диапазон значений для \( 3^n \):
\[
729 < 3^n < 2187.
\]

Это означает, что:
\[
3^6 < 3^n < 3^7, \quad 6 < n < 7, \quad n \notin \mathbb{N}.
\]

Ответ: нет.