ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 761 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В геометрической прогрессии (b_n) найдите:

а) b_5, если b_1=3v2, q=-v2; в) q, если b_1=0,5, b_4=500;

б) b_1, если b_6=-1/4, q=1/2; г) b_1 и q, если b_2=4, b_4=1.

В геометрической прогрессии:

а) \(b_1 = 3\sqrt{2}, \quad q = -\sqrt{2};\)

\(b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4;\)

\(b_5 = 3\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2})^4 = 12\sqrt{2};\)

Ответ: \(12\sqrt{2}.\)

б) \(b_6 = -\frac{1}{4}, \quad q = \frac{1}{2};\)

\(b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5;\)

\(b_1 = \frac{b_6}{q^5} = -\frac{1}{4} \cdot 2^5 = -8;\)

Ответ: \(-8.\)

в) \(b_1 = 0,5, \quad b_4 = 500;\)

\(b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3;\)

\(q = \sqrt[3]{\frac{b_4}{b_1}} = \sqrt[3]{\frac{500}{0,5}} = 10;\)

Ответ: \(10.\)

г) \(b_2 = 4, \quad b_4 = 1;\)

\(b_3 = \pm\sqrt{b_2 \cdot b_4} = \pm2;\)

\(q = \frac{b_3}{b_2} = \pm\frac{2}{4} = \pm0,5;\)

\(b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{4}{\pm0,5} = \pm8;\)

Ответ: \(\pm8; \pm0,5.\)

Дано уравнение для геометрической прогрессии:

a) \( b_1 = 3\sqrt{2}, \quad q = -\sqrt{2}; \)

Шаг 1: Нам нужно найти \( b_5 \) в геометрической прогрессии. Формула для \( n \)-го члена прогрессии:
\[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.
\]

Для \( b_5 \) подставляем \( n = 5 \):
\[
b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4.
\]

Теперь подставим значения \( b_1 = 3\sqrt{2} \) и \( q = -\sqrt{2} \):
\[
b_5 = 3\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})^4 = 3\sqrt{2} \cdot 4 = 12\sqrt{2}.
\]

Ответ: \( 12\sqrt{2} \).

b) \( b_6 = -\frac{1}{4}, \quad q = \frac{1}{2}; \)

Шаг 1: Нам нужно найти \( b_1 \) при известных \( b_6 \) и \( q \). Для этого используем формулу для \( b_n \):
\[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.
\]

Подставляем для \( b_6 \):
\[
b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5.
\]

Подставляем \( b_6 = -\frac{1}{4} \) и \( q = \frac{1}{2} \):
\[
-\frac{1}{4} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = b_1 \cdot \frac{1}{32}.
\]

Теперь решим для \( b_1 \):
\[
b_1 = -\frac{1}{4} \cdot 32 = -8.
\]

Ответ: \( -8 \).

в) \( b_1 = 0,5, \quad b_4 = 500; \)

Шаг 1: Нам нужно найти \( q \). Используем формулу для \( b_n \):
\[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.
\]

Для \( b_4 \) подставляем \( n = 4 \):
\[
b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3.
\]

Теперь подставим \( b_4 = 500 \) и \( b_1 = 0,5 \):
\[
500 = 0,5 \cdot q^3.
\]

Решим для \( q^3 \):
\[
q^3 = \frac{500}{0,5} = 1000.
\]

Теперь найдем \( q \):
\[
q = \sqrt[3]{1000} = 10.
\]

Ответ: \( 10 \).

г) \( b_2 = 4, \quad b_4 = 1; \)

Шаг 1: Нам нужно найти \( b_3 \). Используем среднее геометрическое для \( b_2 \) и \( b_4 \), так как \( b_3 \) будет средним геометрическим этих двух элементов:
\[
b_3 = \pm \sqrt{b_2 \cdot b_4}.
\]

Подставляем значения \( b_2 = 4 \) и \( b_4 = 1 \):
\[
b_3 = \pm \sqrt{4 \cdot 1} = \pm 2.
\]

Шаг 2: Теперь найдем \( q \). Используем формулу для \( q \), зная, что \( b_3 = \pm 2 \) и \( b_2 = 4 \):
\[
q = \frac{b_3}{b_2} = \pm \frac{2}{4} = \pm 0,5.
\]

Шаг 3: Найдем \( b_1 \), используя формулу для первого члена прогрессии:
\[
b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{4}{\pm 0,5} = \pm 8.
\]

Ответ: \( \pm 8; \pm 0,5 \).

Общие замечания:

1. Для решения задач геометрической прогрессии мы использовали стандартную формулу \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \), где \( b_1 \) — первый член прогрессии, \( q \) — коэффициент прогрессии.

2. Для нахождения других членов прогрессии, мы использовали известные значения для других членов и искали коэффициент прогрессии \( q \), а затем применяли его для нахождения остальных членов.

3. В случае с задачей (г) использовался метод среднеарифметического для нахождения среднего члена, а затем применяли стандартную формулу для вычисления других значений прогрессии.