ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 760 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Последовательность (b_n) — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

а) -b_1, -b_2, -b_3, …, -b_n, …; г) b_1^2, b_2^2, b_3^2, …, b_n^2, …;

б) 1/b_1, 1/b_2, 1/b_3, …, 1/b_n, …; д) b_1, b_3, b_5, …, b_(2n-1), …?

в) 7b_1, 7b_2, 7b_3, …, 7b_n, …;

В геометрической прогрессии:
\[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{b_1}{q} \cdot q^n;
\]

а) \(-b_1; -b_2; -b_3; \ldots; -b_n; \ldots;\)
\[
-b_n = -\frac{b_1}{q} \cdot q^n, \quad -b_{n+1} = -b_1 \cdot q^n;
\]

\[
\frac{-b_{n+1}}{-b_n} = \frac{-b_1 \cdot q^n}{-\frac{b_1}{q} \cdot q^n} = q^{n-n} \cdot q = q;
\]

Ответ: да.

б) \(\frac{1}{b_1}; \frac{1}{b_2}; \frac{1}{b_3}; \ldots; \frac{1}{b_n}; \ldots;\)

\[
\frac{1}{b_n} = \frac{q}{b_1}, \quad \frac{1}{b_{n+1}} = \frac{1}{b_1} \cdot q^{-n};
\]

\[
\frac{\frac{1}{b_{n+1}}}{\frac{1}{b_n}} = \frac{\frac{1}{b_1} \cdot q^{-n}}{\frac{1}{b_1} \cdot q^{-n+n}} = q^{-n+n} \cdot q = 1/q;
\]

Ответ: да.

в) \(7b_1; 7b_2; 7b_3; \ldots; 7b_n; \ldots;\)
\[
7b_n = 7b_1 \cdot q^n, \quad 7b_{n+1} = 7b_1 \cdot q^n;
\]

\[
\frac{7b_{n+1}}{7b_n} = \frac{7b_1 \cdot q^n}{7b_1 \cdot q^n} = q^{n-n} \cdot q = q;
\]

Ответ: да.

г) \(b_1^2; b_2^2; b_3^2; \ldots;\)

\[
b_n^2 = \frac{b_1^2}{q^2} \cdot q^{2n}, \quad b_{n+1}^2 = b_1^2 \cdot q^{2n};
\]

\[
\frac{b_{n+1}^2}{b_n^2} = \frac{\frac{b_1^2}{q^2} \cdot q^{2n}}{\frac{b_1^2}{q^2} \cdot q^{2n-2n}} = q^2 \cdot q^{2n-2n} = q^2;
\]

Ответ: да.

д) \(b_1; b_3; b_5; \ldots; b_{2n-1}; \ldots;\)

\[
b_{2n-1} = \frac{b_1}{q^2} \cdot q^{2n}, \quad b_{2n+1} = b_1 \cdot q^{2n};
\]

\[
\frac{b_{2n+1}}{b_{2n-1}} = \frac{\frac{b_1}{q^2} \cdot q^{2n}}{\frac{b_1}{q^2} \cdot q^{2n-2n}} = q^2 \cdot q^{2n-2n} = q^2;
\]

Ответ: да.

Найти промежутки монотонности для различных последовательностей в геометрической прогрессии:

a) \( -b_1; -b_2; -b_3; \ldots; -b_n; \ldots; \)

Шаг 1: Рассмотрим последовательность \( -b_n \):
\[
-b_n = -\frac{b_1}{q} \cdot q^n, \quad -b_{n+1} = -b_1 \cdot q^n.
\]

Преобразуем и рассмотрим отношение последовательных членов:
\[
\frac{-b_{n+1}}{-b_n} = \frac{-b_1 \cdot q^n}{-\frac{b_1}{q} \cdot q^n} = q^{n-n} \cdot q = q.
\]

Таким образом, отношение двух последовательных членов \( -b_{n+1} \) и \( -b_n \) равно \( q \), что указывает на геометрическую прогрессию с коэффициентом \( q \).

Ответ: Да, последовательность \( -b_1; -b_2; -b_3; \ldots \) является геометрической прогрессией с коэффициентом \( q \).

b) \( \frac{1}{b_1}; \frac{1}{b_2}; \frac{1}{b_3}; \ldots; \frac{1}{b_n}; \ldots; \)

Шаг 1: Рассмотрим последовательность обратных элементов \( \frac{1}{b_n} \):
\[
\frac{1}{b_n} = \frac{q}{b_1}, \quad \frac{1}{b_{n+1}} = \frac{1}{b_1} \cdot q^{-n}.
\]

Теперь найдем отношение последовательных элементов:
\[
\frac{\frac{1}{b_{n+1}}}{\frac{1}{b_n}} = \frac{\frac{1}{b_1} \cdot q^{-n}}{\frac{1}{b_1} \cdot q^{-n+n}} = q^{-n+n} \cdot q = \frac{1}{q}.
\]

Это также геометрическая прогрессия, но с коэффициентом \( \frac{1}{q} \).

Ответ: Да, последовательность \( \frac{1}{b_1}; \frac{1}{b_2}; \frac{1}{b_3}; \ldots \) является геометрической прогрессией с коэффициентом \( \frac{1}{q} \).

в) \( 7b_1; 7b_2; 7b_3; \ldots; 7b_n; \ldots; \)

Шаг 1: Рассмотрим последовательность \( 7b_n \):
\[
7b_n = 7b_1 \cdot q^n, \quad 7b_{n+1} = 7b_1 \cdot q^n.
\]

Вычислим отношение последовательных членов:
\[
\frac{7b_{n+1}}{7b_n} = \frac{7b_1 \cdot q^n}{7b_1 \cdot q^n} = q^{n-n} \cdot q = q.
\]

Это тоже геометрическая прогрессия с коэффициентом \( q \).

Ответ: Да, последовательность \( 7b_1; 7b_2; 7b_3; \ldots \) является геометрической прогрессией с коэффициентом \( q \).

г) \( b_1^2; b_2^2; b_3^2; \ldots; \)

Шаг 1: Рассмотрим последовательность квадратов элементов \( b_n^2 \):
\[
b_n^2 = \frac{b_1^2}{q^2} \cdot q^{2n}, \quad b_{n+1}^2 = b_1^2 \cdot q^{2n}.
\]

Вычислим отношение последовательных квадратов:
\[
\frac{b_{n+1}^2}{b_n^2} = \frac{\frac{b_1^2}{q^2} \cdot q^{2n}}{\frac{b_1^2}{q^2} \cdot q^{2n-2n}} = q^2 \cdot q^{2n-2n} = q^2.
\]

Это геометрическая прогрессия с коэффициентом \( q^2 \).

Ответ: Да, последовательность \( b_1^2; b_2^2; b_3^2; \ldots \) является геометрической прогрессией с коэффициентом \( q^2 \).

д) \( b_1; b_3; b_5; \ldots; b_{2n-1}; \ldots; \)

Шаг 1: Рассмотрим последовательность нечетных членов прогрессии:
\[
b_{2n-1} = \frac{b_1}{q^2} \cdot q^{2n}, \quad b_{2n+1} = b_1 \cdot q^{2n}.
\]

Вычислим отношение последовательных нечетных членов:

\[
\frac{b_{2n+1}}{b_{2n-1}} = \frac{\frac{b_1}{q^2} \cdot q^{2n}}{\frac{b_1}{q^2} \cdot q^{2n-2n}} = q^2 \cdot q^{2n-2n} = q^2.
\]

Это также геометрическая прогрессия с коэффициентом \( q^2 \).

Ответ: Да, последовательность \( b_1; b_3; b_5; \ldots \) является геометрической прогрессией с коэффициентом \( q^2 \).