ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 758 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каком условии корни уравнения

(1-a^2)x^2+2ax-1=0

принадлежат промежутку (0; 1)?

Дано уравнение:
\[
(1 — a^2)x^2 + 2ax — 1 = 0, \quad x \in (0; 1);
\]

\[
D = (2a)^2 + 4(1 — a^2) = 4a^2 + 4 — 4a^2 = 4, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-2a — 2}{2(1 — a^2)} = \frac{-a — 1}{1 — a^2} = \frac{-(a + 1)}{(1 — a)(a — 1)} = \frac{1}{a — 1};
\]

\[
x_2 = \frac{-2a + 2}{2(1 — a^2)} = \frac{1 — a}{1 — a^2} = \frac{1 — a}{(1 — a)(1 + a)} = \frac{1}{a + 1}.
\]

1) Корни больше нуля:
\[
\frac{1}{a — 1} > 0, \quad \frac{1}{a + 1} > 0;
\]

\[
a — 1 > 0, \quad a > 1;
\]

\[
a + 1 > 0, \quad a > -1.
\]

2) Корни меньше единицы:
\[
\frac{1}{a — 1} < 1, \quad \frac{1}{a + 1} < 1;
\]

\[
\frac{a — 1 — 1}{a — 1} > 0, \quad \frac{a + 1 — 1}{a + 1} > 0;
\]

\[
\frac{a — 2}{a — 1} > 0, \quad a < 1, \quad a > 2;
\]

\[
\frac{a}{a + 1} > 0, \quad a < -1, \quad a > 0.
\]

3) Если \(a = \pm 1\), тогда:

\[
(1 — 1)x^2 \pm 2x — 1 = 0;
\]

\[
\pm 2x = 1, \quad x = \pm \frac{1}{2} = \pm 0,5.
\]

Ответ:
\[
a \in \{1\} \cup (2; +\infty).
\]

Дано уравнение:

\[
(1 — a^2)x^2 + 2ax — 1 = 0, \quad x \in (0; 1);
\]

Шаг 1: Найдем дискриминант для уравнения. Дискриминант \( D \) для квадратного уравнения \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) равен:
\[
D = B^2 — 4AC.
\]

В данном случае:
\[
A = 1 — a^2, \quad B = 2a, \quad C = -1.
\]

Подставим в формулу дискриминанта:
\[
D = (2a)^2 — 4(1 — a^2)(-1) = 4a^2 + 4 — 4a^2 = 4.
\]

Таким образом, дискриминант равен 4.

Шаг 2: Теперь найдем корни уравнения. Формула для корней квадратного уравнения:
\[
x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}.
\]

Подставим значения:
\[
x_1 = \frac{-2a — 2}{2(1 — a^2)} = \frac{-a — 1}{1 — a^2} = \frac{-(a + 1)}{(1 — a)(a — 1)} = \frac{1}{a — 1},
\]

\[
x_2 = \frac{-2a + 2}{2(1 — a^2)} = \frac{1 — a}{1 — a^2} = \frac{1 — a}{(1 — a)(1 + a)} = \frac{1}{a + 1}.
\]

Шаг 3: Рассмотрим условия на корни \( x_1 \) и \( x_2 \). У нас два условия:

1) Корни больше нуля:

Из \( x_1 = \frac{1}{a — 1} > 0 \) получаем:
\[
a — 1 > 0, \quad a > 1.
\]

Из \( x_2 = \frac{1}{a + 1} > 0 \) получаем:
\[
a + 1 > 0, \quad a > -1.
\]

То есть для того, чтобы оба корня были больше нуля, \( a > 1 \).

2) Корни меньше единицы:

Рассмотрим условие \( x_1 < 1 \):
\[
\frac{1}{a — 1} < 1, \quad a — 1 > 1, \quad a > 2.
\]

Рассмотрим условие \( x_2 < 1 \):
\[
\frac{1}{a + 1} < 1, \quad a + 1 > 1, \quad a > 0.
\]

Таким образом, для того, чтобы оба корня были меньше единицы, \( a \) должно быть из интервала \( (2; +\infty) \).

3) Если \( a = \pm 1 \), тогда:

Подставим \( a = 1 \) в исходное уравнение:
\[
(1 — 1)x^2 + 2x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} = 0.5.
\]

Подставим \( a = -1 \) в исходное уравнение:
\[
(1 — 1)x^2 — 2x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad -2x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{2} = -0.5.
\]

Однако, так как \( x \in (0; 1) \), решение \( x = -0.5 \) не подходит.

Ответ: Таким образом, область решения для \( a \) будет:
\[
a \in \{1\} \cup (2; +\infty).
\]