ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 757 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {xy+2x^2+2y^2=120, xy-x^2-y^2=-39};

б) {x^2+4xy=5, y^2-6xy=31}.

Решить систему уравнений:
а)
\[
\begin{cases}
xy + 2x^2 + 2y^2 = 120 \\
xy — x^2 — y^2 = -39
\end{cases}
\]

Второе уравнение:

\[ x^2 + y^2 = xy + 39; \]

Первое уравнение:

\[ xy + 2xy + 78 = 120; \]

\[ 3xy = 42, \quad y = \frac{14}{x}; \]

Второе уравнение:

\[ 14 — x^2 — \frac{196}{x^2} = -39; \]

\[ x^2 — 53 + \frac{196}{x^2} = 0; \]

\[ x^4 — 53x^2 + 196 = 0; \]

\[ D = 53^2 — 4 \cdot 196 = 2809 — 784 = 2025, \]
тогда:

\[ x_1^2 = \frac{53 — 45}{2} = 4, \quad x_2^2 = \frac{53 + 45}{2} = 49; \]

\[ x_1 = \pm 2, \quad x_2 = \pm 7; \]

\[ y_1 = \frac{14}{x_1} = \pm 7, \quad y_2 = \frac{14}{x_2} = \pm 2; \]

Ответ:

\[ (-2; -7); (2; 7); (-7; -2); (7; 2). \]

б)
\[
\begin{cases}
x^2 + 4xy = 5 \\
y^2 — 6xy = 31
\end{cases}
\]

Сумма уравнений:

\[ x^2 — 2xy + y^2 = 36; \]

\[ (x — y)^2 = 36; \]

\[ x — y = \pm 6; \quad y = x \pm 6; \]

Первое уравнение:

\[ x^2 + 4x(x + 6) = 5; \]

\[ x^2 + 4x^2 + 24x = 5; \]

\[ 5x^2 + 24x — 5 = 0; \]

\[ D = 24^2 + 4 \cdot 5 \cdot 5 = 576 + 100 = 676, \]
тогда:

\[ x_1 = \frac{24 — 26}{2 \cdot 5} = -0,2, \quad x_2 = \frac{24 + 26}{2 \cdot 5} = 5; \]

\[ y_1 = -0,2 — 6 = -6,2, \quad y_2 = 5 — 6 = -1; \]

\[ x_3 = \frac{-24 — 26}{2 \cdot 5} = -5, \quad x_4 = \frac{-24 + 26}{2 \cdot 5} = 0,2; \]

\[ y_3 = -5 + 6 = 1, \quad y_4 = 0,2 + 6 = 6,2; \]

Ответ:

\[ (-0,2; -6,2); (5; -1); (-5; 1); (0,2; 6,2). \]

Решить систему уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
xy + 2x^2 + 2y^2 = 120 \\
xy — x^2 — y^2 = -39
\end{cases}
\]

Шаг 1: Перепишем второе уравнение:

\[
x^2 + y^2 = xy + 39.
\]

Подставим это во первое уравнение:

\[
xy + 2xy + 78 = 120.
\]

Упростим:

\[
3xy = 42, \quad xy = 14.
\]

Шаг 2: Теперь выразим \( y \) через \( x \):

\[
y = \frac{14}{x}.
\]

Подставим это во второе уравнение:

\[
14 — x^2 — \frac{196}{x^2} = -39.
\]

Упростим:

\[
x^2 — 53 + \frac{196}{x^2} = 0.
\]

Умножим на \( x^2 \):

\[
x^4 — 53x^2 + 196 = 0.
\]

Это квадратное уравнение относительно \( x^2 \). Найдем его дискриминант:

\[
D = 53^2 — 4 \cdot 196 = 2809 — 784 = 2025.
\]

Решим уравнение для \( x^2 \):

\[
x_1^2 = \frac{53 — 45}{2} = 4, \quad x_2^2 = \frac{53 + 45}{2} = 49.
\]

Тогда:

\[
x_1 = \pm 2, \quad x_2 = \pm 7.
\]

Подставляем эти значения для \( x \):

\[
y_1 = \frac{14}{x_1} = \pm 7, \quad y_2 = \frac{14}{x_2} = \pm 2.
\]

Ответ:

\[
(-2; -7); (2; 7); (-7; -2); (7; 2).
\]

b)
\[
\begin{cases}
x^2 + 4xy = 5 \\
y^2 — 6xy = 31
\end{cases}
\]

Шаг 1: Сложим оба уравнения:
\[
x^2 — 2xy + y^2 = 36.
\]

Это можно записать как:
\[
(x — y)^2 = 36.
\]

Таким образом, \( x — y = \pm 6 \), и \( y = x \pm 6 \).

Шаг 2: Подставим \( y = x + 6 \) в первое уравнение:
\[
x^2 + 4x(x + 6) = 5.
\]

Раскроем скобки:

\[
x^2 + 4x^2 + 24x = 5.
\]

Приведем подобные:

\[
5x^2 + 24x — 5 = 0.
\]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[
D = 24^2 + 4 \cdot 5 \cdot 5 = 576 + 100 = 676.
\]

Теперь решим уравнение для \( x \):

\[
x_1 = \frac{24 — 26}{2 \cdot 5} = -0.2, \quad x_2 = \frac{24 + 26}{2 \cdot 5} = 5.
\]

Теперь подставим значения для \( x \) в выражение для \( y \):

\[
y_1 = -0.2 — 6 = -6.2, \quad y_2 = 5 — 6 = -1.
\]

Теперь рассмотрим \( x — y = -6 \):

\[
x_3 = \frac{-24 — 26}{2 \cdot 5} = -5, \quad x_4 = \frac{-24 + 26}{2 \cdot 5} = 0.2.
\]

Подставляем значения для \( x \) в выражение для \( y \):

\[
y_3 = -5 + 6 = 1, \quad y_4 = 0.2 + 6 = 6.2.
\]

Ответ:
\[
(-0.2; -6.2); (5; -1); (-5; 1); (0.2; 6.2).
\]