ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 756 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что (a_n) — арифметическая прогрессия, (S_n) — последовательность сумм первых n её членов. Докажите, что если члены последовательности (a_n) изображаются точками, принадлежащими прямой y=2x-3, то члены последовательности (S_n) изображаются точками, принадлежащими параболе y=x^2-2x.

Арифметическая прогрессия:

\( a_n = 2n — 3, \, S_n = n^2 — 2n; \)

1) Первый член прогрессии:

\[ a_1 = 2 \cdot 1 — 3 = 2 — 3 = -1; \]

2) Сумма \( n \) первых членов:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{-1 + 2n — 3}{2} \cdot n; \]

\[ S_n = \frac{-4 + 2n}{2} \cdot n = n(n — 2) = n^2 — 2n; \]

Что и требовалось доказать.

Задача: Доказать равенство для арифметической прогрессии:

Даны:

\( a_n = 2n — 3 \)

\( S_n = n^2 — 2n \)

1. Первый член прогрессии:

Подставляем \( n = 1 \) в формулу для \( a_n \):

\( a_1 = 2 \cdot 1 — 3 = 2 — 3 = -1 \)

2. Сумма первых \( n \) членов:

Используем формулу для суммы \( S_n \) для арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \)

Подставляем \( a_1 = -1 \) и \( a_n = 2n — 3 \) в эту формулу:

\( S_n = \frac{-1 + 2n — 3}{2} \cdot n \)

Упрощаем числитель:

\( S_n = \frac{-4 + 2n}{2} \cdot n \)

Теперь упрощаем выражение:

\( S_n = n(n — 2) = n^2 — 2n \)

Что и требовалось доказать.