ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 755 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите число n членов арифметической прогрессии (a_n), если:

а) {a_3+a_5=36, S_6=93, a_n+a_1+a_6=89};

б) {a_3=21, S_4=36, S_n=300}.

Арифметическая прогрессия:
a) \( a_n + a_1 + a_6 = 89; \)

\( a_3 + a_5 = 36, \, S_6 = 93; \)

Из первого равенства:

\[ a_1 + 2d + a_1 + 4d = 36; \]

\[ 2a_1 + 6d = 36; \]

\[ a_1 + 3d = 18; \]

\[ a_1 = 18 — 3d; \]

Из второго равенства:

\[ S_6 = \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6 = 93; \]

\[ 3(36 — 6d + 5d) = 93; \]

\[ 36 — d = 31, \quad d = 5; \]

\[ a_1 = 18 — 15 = 3; \]

Из третьего равенства:

\[ a_n + a_1 + a_1 + 5d = 89; \]

\[ a_n + 3 + 3 + 25 = 89; \]

\[ a_1 + d(n — 1) = 58; \]

\[ 3 + 5(n — 1) = 58; \]

\[ 5n — 5 = 55, \quad 5n = 60, \quad n = 12; \]

Ответ: 12.

Задача: Найти номер члена \( a_n \) арифметической прогрессии, используя данные суммы и условия на члены прогрессии.

Даны:

\( a_n + a_1 + a_6 = 89 \)

\( a_3 + a_5 = 36 \)

\( S_6 = 93 \)

1. Используем второе равенство:

Для суммы членов \( a_3 + a_5 \):

\( a_3 + a_5 = 36 \), где \( a_3 = a_1 + 2d \), а \( a_5 = a_1 + 4d \). Подставляем:

\( (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = 36 \)

Приводим подобные члены:

\( 2a_1 + 6d = 36 \)

Делим на 2:

\( a_1 + 3d = 18 \)

Выражаем \( a_1 \) через \( d \):

\( a_1 = 18 — 3d \)

2. Используем третье равенство:

Теперь используем формулу для суммы \( S_6 \) первых 6 членов прогрессии:

\( S_6 = \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6 = 93 \)

Умножаем обе части на 2:

\( 6(2a_1 + 5d) = 186 \)

Теперь делим на 6:

\( 2a_1 + 5d = 31 \)

Подставляем \( a_1 = 18 — 3d \) в это уравнение:

\( 2(18 — 3d) + 5d = 31 \)

Раскрываем скобки:

\( 36 — 6d + 5d = 31 \)

Упростим:

\( 36 — d = 31 \)

Получаем \( d = 5 \)

Подставляем \( d = 5 \) в выражение для \( a_1 \):

\( a_1 = 18 — 3 \cdot 5 = 3 \)

3. Используем первое равенство:

Теперь из первого уравнения \( a_n + a_1 + a_6 = 89 \), где \( a_6 = a_1 + 5d \). Подставляем \( a_1 = 3 \) и \( d = 5 \):

\( a_n + 3 + 3 + 25 = 89 \)

Приводим подобные члены:

\( a_n + 31 = 89 \)

Теперь находим \( a_n \):

\( a_n = 89 — 31 = 58 \)

Используем формулу для \( a_n \):

\( a_n = a_1 + d(n — 1) \)

Подставляем известные значения:

\( 58 = 3 + 5(n — 1) \)

Упрощаем уравнение:

\( 58 = 3 + 5n — 5 \)

\( 58 = -2 + 5n \)

Добавляем 2 к обеим частям:

\( 60 = 5n \)

Теперь делим на 5:

\( n = \frac{60}{5} = 12 \)

Ответ: \( n = 12 \)