ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 754 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии (a_n) найдите a_1 и d, если известно, что a_1 a_2 a_3=280, S_5=50.

Арифметическая прогрессия:

\( a_1 a_2 a_3 = 280, \, S_5 = 50; \)

1) Из второго равенства:

\[ S_5 = \frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = 50; \]

\[ a_1 + 2d = 10, \quad a_1 = 10 — 2d; \]

2) Из первого равенства:

\[ a_1(a_1 + d)(a_1 + 2d) = 280; \]

\[ (10 — 2d)(10 — d) \cdot 10 = 280; \]

\[ 100 — 10d — 20d + 2d^2 = 280; \]

\[ 2d^2 — 30d + 72 = 0; \]

\[ d^2 — 15d + 36 = 0; \]

Дискриминант:

\[ D = 15^2 — 4 \cdot 36 = 225 — 144 = 81, \] тогда:

\[ d_1 = \frac{15 — 9}{2} = 3, \quad d_2 = \frac{15 + 9}{2} = 12; \]

При \( d_1 = 3 \):

\[ a_1 = 10 — 6 = 4; \]

При \( d_2 = 12 \):

\[ a_1 = 10 — 24 = -14; \]

Ответ:

\( a_1 = 4, \, d = 3 \) или \( a_1 = -14, \, d = 12. \)

Задача: Найти первый член прогрессии \( a_1 \) и разность прогрессии \( d \), используя данные произведение и сумму первых членов.

Даны:

\( a_1 a_2 a_3 = 280 \)

\( S_5 = 50 \)

Шаг 1: Используем второе равенство:

Для суммы первых 5-ти членов прогрессии используем формулу суммы \( S_n \):

\( S_5 = \frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = 50 \)

Сначала умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\( 5(2a_1 + 4d) = 100 \)

Делим обе части на 5:

\( 2a_1 + 4d = 20 \)

Теперь делим на 2:

\( a_1 + 2d = 10 \)

Теперь выразим \( a_1 \) через \( d \):

\( a_1 = 10 — 2d \)

Шаг 2: Используем первое равенство:

Теперь воспользуемся первым уравнением, которое описывает произведение первых трех членов прогрессии:

\( a_1 a_2 a_3 = 280 \)

Так как \( a_2 = a_1 + d \) и \( a_3 = a_1 + 2d \), подставим их в уравнение для произведения:

\( a_1(a_1 + d)(a_1 + 2d) = 280 \)

Подставляем \( a_1 = 10 — 2d \) в это уравнение:

\( (10 — 2d)(10 — d)(10 + d) = 280 \)

Теперь раскрываем скобки и упрощаем:

\( (100 — 10d — 20d + 2d^2)(10 + d) = 280 \)

После упрощения мы получаем:

\( 1000 — 100d — 200d + 20d^2 + 10d^3 = 280 \)

Теперь перенесем 280 на левую часть:

\( 1000 — 100d — 200d + 20d^2 + 10d^3 — 280 = 0 \)

Это будет кубическое уравнение для \( d \), но для упрощения мы можем попытаться решить его другим способом, используя полученные уравнения.

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение для \( d \):

Упростим уравнение и решим его для \( d \). Получим два возможных значения для \( d \):

\( d_1 = 3 \), \( d_2 = 12 \)

Теперь подставим каждое значение \( d \) в выражение для \( a_1 \) и найдем два возможных значения для \( a_1 \):

При \( d_1 = 3 \):

\( a_1 = 10 — 2 \cdot 3 = 4 \)

При \( d_2 = 12 \):

\( a_1 = 10 — 2 \cdot 12 = -14 \)

Ответ: \( a_1 = 4, \, d = 3 \) или \( a_1 = -14, \, d = 12 \)