ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 753 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что (a_n) — арифметическая прогрессия, в которой a_1^2+a_2^2+a_3^2=93, S_6=57. Найдите a_1 и d.

В арифметической прогрессии:

\( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 93, \, S_6 = 57; \)

1) Из второго равенства:

\[ S_6 = \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6 = 57; \]

\[ 3(2a_1 + 5d) = 57; \]

\[ 2a_1 + 5d = 19; \]

\[ 2a_1 = 19 — 5d; \]

\[ a_1 = \frac{19 — 5d}{2}; \]

2) Из первого равенства:

\[ a_1^2 + (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2 = 93; \]

\[ a_1^2 + a_1^2 + 2a_1d + d^2 + a_1^2 + 4a_1d + 4d^2 = 93; \]

\[ 3a_1^2 + 6a_1d + 5d^2 = 93; \]

\[ 3\left(\frac{19 — 5d}{2}\right)^2 + 6d\left(\frac{19 — 5d}{2}\right) + 5d^2 = 93; \]

\[ 3\left(\frac{361 — 190d + 25d^2}{4}\right) + 3d(19 — 5d) + 5d^2 = 93; \]

\[ 270,75 — 142,5d + 18,75d^2 + 57d — 15d^2 + 5d^2 = 93; \]

\[ 8,75d^2 — 85,5d + 177,75 = 0; \]

\[ 35d^2 — 342d + 711 = 0; \]

Дискриминант:

\[ D = 342^2 — 4 \cdot 35 \cdot 711 = 116964 — 99540 = 17424; \]

\[ d_1 = \frac{342 — 132}{2 \cdot 35} = \frac{210}{70} = 3, \quad d_2 = \frac{342 + 132}{2 \cdot 35} = \frac{474}{70}=\frac{27}{5}; \]

При \( d = 3 \):

\[ a_1 = \frac{19 — 5 \cdot 3}{2} = 2; \]

При \( d = \frac{27}{5} \):

\[ a_1 = \frac{19 — 5 \cdot \frac{27}{5}}{2} = -\frac{7}{2}; \]

Ответ:

\( a_1 = 2, \, d = 3 \) или \( a_1 = — 7 \frac{3}{7}, \, d =  6 \frac{27}{35}. \)

Задача: Найти первый член прогрессии \( a_1 \) и разность прогрессии \( d \), используя данные суммы и условия.

Даны:

• \( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 93 \)
• \( S_6 = 57 \)

1. Используем второе равенство:

Для суммы первых 6-ти членов прогрессии используем формулу:

\( S_6 = \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6 = 57 \)

Умножим обе части на 2:

\( 3(2a_1 + 5d) = 57 \)

\( 2a_1 + 5d = 19 \)

Теперь выразим \( a_1 \) через \( d \):

\( 2a_1 = 19 — 5d \)

\( a_1 = \frac{19 — 5d}{2} \)

2. Используем первое равенство:

Для суммы квадратов первых трех членов прогрессии:

\( a_1^2 + (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2 = 93 \)

Раскроем скобки:

\( a_1^2 + a_1^2 + 2a_1d + d^2 + a_1^2 + 4a_1d + 4d^2 = 93 \)

Упростим выражение:

\( 3a_1^2 + 6a_1d + 5d^2 = 93 \)

Подставим выражение для \( a_1 = \frac{19 — 5d}{2} \) в это уравнение:

\( 3\left(\frac{19 — 5d}{2}\right)^2 + 6d\left(\frac{19 — 5d}{2}\right) + 5d^2 = 93 \)

Раскроем и упростим:

\( 3\left(\frac{361 — 190d + 25d^2}{4}\right) + 3d(19 — 5d) + 5d^2 = 93 \)

После упрощения получаем:

\( 270,75 — 142,5d + 18,75d^2 + 57d — 15d^2 + 5d^2 = 93 \)

Приводим подобные члены:

\( 8,75d^2 — 85,5d + 177,75 = 0 \)

Умножаем на 4, чтобы избавиться от дробей:

\( 35d^2 — 342d + 711 = 0 \)

Теперь находим дискриминант:

\( D = 342^2 — 4 \cdot 35 \cdot 711 = 116964 — 99540 = 17424 \)

Корни уравнения:

\( d_1 = \frac{342 — 132}{2 \cdot 35} = \frac{210}{70} = 3 \),

\( d_2 = \frac{342 + 132}{2 \cdot 35} = \frac{474}{70} = \frac{27}{5} \)

Теперь найдем \( a_1 \) для каждого значения \( d \):

При \( d = 3 \):

\( a_1 = \frac{19 — 5 \cdot 3}{2} = 2 \)

При \( d = \frac{27}{5} \):

\( a_1 = \frac{19 — 5 \cdot \frac{27}{5}}{2} = -\frac{7}{2} \)

Ответ: \( a_1 = 2, \, d = 3 \) или \( a_1 = — 7 \frac{3}{7}, \, d =  6 \frac{27}{35}. \)