ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 749 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Является ли арифметической прогрессией последовательность (a_n), сумма первых n членов которой вычисляется по формуле:

а) S_n=3n^2-n; б) S_n=n-n^2; в) S_n=n^2+2n?

При положительном ответе укажите разность прогрессии.

В арифметической прогрессии:

\( S_{n+1} — S_n = a_{n+1} = a_1 + dn; \)

a) \( S_n = 3n^2 — n; \)

\[ S_{n+1} = 3(n + 1)^2 — (n + 1); \]

\[ S_{n+1} = 3n^2 + 6n + 3 — n — 1; \]

\[ S_{n+1} = 3n^2 + 5n + 2; \]

\[ S_{n+1} — S_n = 6n + 2; \]

Ответ: \( d = 6. \)

b) \( S_n = n — n^2; \)

\[ S_{n+1} = (n + 1) — (n + 1)^2; \]

\[ S_{n+1} = n + 1 — n^2 — 2n — 1; \]

\[ S_{n+1} = -n^2 — n; \]

\[ S_{n+1} — S_n = -2n; \]

Ответ: \( d = -2. \)

c) \( S_n = n^2 + 2n; \)

\[ S_{n+1} = (n + 1)^2 + 2(n + 1); \]

\[ S_{n+1} = n^2 + 2n + 1 + 2n + 2; \]

\[ S_{n+1} = n^2 + 4n + 3; \]

\[ S_{n+1} — S_n = 2n + 3; \]

Ответ: \( d = 2. \)

Задача: Найти разность прогрессии для заданных сумм \( S_n \).

a) \( S_n = 3n^2 — n \)

Для нахождения разности прогрессии \( d \), используем формулу для разности сумм прогрессий:

\( S_{n+1} — S_n = a_{n+1} = a_1 + dn \)

1. Подставим \( n + 1 \) в формулу суммы для \( S_{n+1} \):

\( S_{n+1} = 3(n + 1)^2 — (n + 1) \)

2. Раскроем скобки и упростим:

\( S_{n+1} = 3(n^2 + 2n + 1) — (n + 1) \)

\( S_{n+1} = 3n^2 + 6n + 3 — n — 1 \)

\( S_{n+1} = 3n^2 + 5n + 2 \)

3. Теперь вычислим разницу между \( S_{n+1} \) и \( S_n \):

\( S_{n+1} — S_n = (3n^2 + 5n + 2) — (3n^2 — n) \)

Упрощаем:

\( S_{n+1} — S_n = 3n^2 + 5n + 2 — 3n^2 + n \)

\( S_{n+1} — S_n = 6n + 2 \)

4. Сравниваем разность с формулой для \( a_{n+1} \), которая равна \( a_1 + dn \):

\( 6n + 2 = a_1 + dn \), что дает нам значение разности \( d = 6 \).

Ответ: \( d = 6 \)

b) \( S_n = n — n^2 \)

Для нахождения разности прогрессии, используем аналогичные шаги:

1. Подставим \( n + 1 \) в формулу для суммы \( S_{n+1} \):

\( S_{n+1} = (n + 1) — (n + 1)^2 \)

2. Раскроем скобки и упростим:

\( S_{n+1} = n + 1 — (n^2 + 2n + 1) \)

\( S_{n+1} = n + 1 — n^2 — 2n — 1 \)

\( S_{n+1} = -n^2 — n \)

3. Теперь вычислим разницу между \( S_{n+1} \) и \( S_n \):

\( S_{n+1} — S_n = (-n^2 — n) — (n — n^2) \)

Упрощаем:

\( S_{n+1} — S_n = -n^2 — n — n + n^2 \)

\( S_{n+1} — S_n = -2n \)

4. Сравниваем разность с формулой для \( a_{n+1} \), которая равна \( a_1 + dn \):

\( -2n = a_1 + dn \), что дает нам значение разности \( d = -2 \).

Ответ: \( d = -2 \)

в) \( S_n = n^2 + 2n \)

Для нахождения разности прогрессии, повторим шаги аналогичные предыдущим частям:

1. Подставим \( n + 1 \) в формулу для суммы \( S_{n+1} \):

\( S_{n+1} = (n + 1)^2 + 2(n + 1) \)

2. Раскроем скобки и упростим:

\( S_{n+1} = (n^2 + 2n + 1) + 2n + 2 \)

\( S_{n+1} = n^2 + 4n + 3 \)

3. Теперь вычислим разницу между \( S_{n+1} \) и \( S_n \):

\( S_{n+1} — S_n = (n^2 + 4n + 3) — (n^2 + 2n) \)

Упрощаем:

\( S_{n+1} — S_n = n^2 + 4n + 3 — n^2 — 2n \)

\( S_{n+1} — S_n = 2n + 3 \)

4. Сравниваем разность с формулой для \( a_{n+1} \), которая равна \( a_1 + dn \):

\( 2n + 3 = a_1 + dn \), что дает нам значение разности \( d = 2 \).

Ответ: \( d = 2 \)