ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 747 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии с нечётным числом членов средний член равен 17, а сумма всех слагаемых на 112 больше их числа. Найдите число членов прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия:

\( n = 2k — 1, \, a_k = 17, \, S_n = 112 + n; \)

1) Первый член:

\[ a_1 = a_k — d(k — 1); \]

2) Последний член:

\[ a_n = a_k + d(k — 1); \]

3) Сумма всех членов:
\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 112 + n; \]

\[ 2a_k \cdot n = 112 + n, \, a_k \cdot n = 112 + n; \]

\[ 17n = 112 + n, \, 16n = 112, \, n = 7; \]

Ответ: \( n = 7. \)

Задача: Найти значение \( n \) для арифметической прогрессии.

Даны:

\( n = 2k — 1 \)

\( a_k = 17 \)

\( S_n = 112 + n \)

1) Найдем первый член \( a_1 \):

Используем формулу для первого члена прогрессии:

\( a_1 = a_k — d(k — 1) \)

2) Найдем последний член \( a_n \):

Используем формулу для последнего члена прогрессии:

\( a_n = a_k + d(k — 1) \)

3) Найдем сумму всех членов \( S_n \):

Используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 112 + n \)

Подставим выражения для \( a_1 \) и \( a_n \):

\( 2a_k \cdot n = 112 + n \), \( a_k \cdot n = 112 + n \)

Теперь подставляем \( a_k = 17 \):

\( 17n = 112 + n \)

Решаем уравнение:

\( 16n = 112 \), \( n = 7 \)

Ответ: \( n = 7 \)