ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 744 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите х из уравнения, если известно, что показатели степеней множителей составляют арифметическую прогрессию:

а) 2^2·2^4·2^6·…·2^(2x)=(0,25)^(-36);

б) 5^3·5^6·5^9·…·5^(3x)=(0,008)^(-55).

В арифметической прогрессии:

a) \( 2^2 \cdot 2^4 \cdot 2^6 \cdot \ldots \cdot 2^{2x} = (0,25)^{-36}; \)

\[ (0,25)^{-3} = 4^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6; \]

\[ a_1 = 2, \, a_2 = 4, \, a_n = 2x; \]

\[ d = a_2 — a_1 = 4 — 2 = 2; \]

\[ a_n = a_1 + d(n — 1) = 2x; \]

\[ 2 + 2n — 2 = 2x, \, x = n; \]

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 72; \]

\[ (2 + 2n)n = 144; \]

\[ 2n^2 + 2n — 144 = 0; \]

\[ n^2 + n — 72 = 0; \]

\[ D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 72 = 1 + 288 = 289, \text{ тогда:} \]

\[ n_1 = \frac{-1 — 17}{2} = -9, \quad n_2 = \frac{-1 + 17}{2} = 8; \]

Ответ: 8.

b) \( 5^3 \cdot 5^6 \cdot 5^9 \cdot \ldots \cdot 5^{3x} = (0,008)^{-55}; \)

\[ (0,008)^{-5} = 125^{55} = 5^{3 \cdot 55} = 165; \]

\[ a_1 = 3, \, a_2 = 6, \, a_n = 3x; \]

\[ d = a_2 — a_1 = 6 — 3 = 3; \]

\[ a_n = a_1 + d(n — 1) = 3x; \]

\[ 3 + 3n — 3 = 3x, \, x = n; \]

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 165; \]

\[ (3 + 3n)n = 330; \]

\[ 3n^2 + 3n — 330 = 0; \]

\[ n^2 + n — 110 = 0; \]

\[ D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 110 = 1 + 440 = 441, \text{ тогда:} \]

\[ n_1 = \frac{-1 — 21}{2} = -11, \quad n_2 = \frac{-1 + 21}{2} = 10; \]

Ответ: 10.

Задача: Найти значения для арифметической прогрессии.

a) \( 2^2 \cdot 2^4 \cdot 2^6 \cdot \ldots \cdot 2^{2x} = (0,25)^{-36} \)

Прежде всего, преобразуем правую часть уравнения:

\( (0,25)^{-3} = 4^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \)

Теперь рассмотрим арифметическую прогрессию, где:

\( a_1 = 2, \, a_2 = 4, \, a_n = 2x \)

Для нахождения разности прогрессии используем формулу для разности арифметической прогрессии:

\( d = a_2 — a_1 \)

Подставляем значения:

\( d = 4 — 2 = 2 \)

Теперь выразим \( a_n \) (или \( 2x \)) через \( n \), используя формулу для \( n \)-го члена прогрессии:

\( a_n = a_1 + d(n — 1) = 2x \)

Подставляем \( a_1 = 2 \), \( d = 2 \) и \( a_n = 2x \):

\( 2 + 2n — 2 = 2x \), \( 2x = 2n \), следовательно:

\( x = n \)

Теперь находим сумму \( S_n \) первых \( n \) членов прогрессии с помощью формулы для суммы арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 72 \)

Подставляем \( a_1 = 2 \) и \( a_n = 2n \):

\( (2 + 2n)n = 144 \)

Упрощаем уравнение:

\( n(6n — 2) — 368 = 0 \)

Получаем квадратное уравнение:

\( 6n^2 — 2n — 368 = 0 \)

Умножаем на 1/2:

\( 3n^2 — n — 184 = 0 \)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 184 = 1 + 2208 = 2209 \)

Находим корни уравнения:

\( n_1 = \frac{-1 — 47}{6} = -8 \), \( n_2 = \frac{-1 + 47}{6} = 8 \)

Так как \( n \) должно быть положительным, то \( n = 8 \).

Теперь находим \( x \):

\( x = 6 \cdot 8 — 4 = 48 — 4 = 44 \)

Ответ: \( n = 8 \).

b) \( 5^3 \cdot 5^6 \cdot 5^9 \cdot \ldots \cdot 5^{3x} = (0,008)^{-55} \)

Перепишем правую часть уравнения:

\( (0,008)^{-5} = 125^{-55} = 5^{3 \cdot 55} = 165 \)

Теперь рассмотрим арифметическую прогрессию, для которой:

\( a_1 = 3, \, a_2 = 6, \, a_n = 3x \)

Найдем разность прогрессии:

\( d = a_2 — a_1 \)

Подставляем значения:

\( d = 6 — 3 = 3 \)

Теперь выразим \( a_n \) (или \( 3x \)) через \( n \), используя формулу для \( n \)-го члена прогрессии:

\( a_n = a_1 + d(n — 1) = 3x \)

Подставляем \( a_1 = 3 \), \( d = 3 \) и \( a_n = 3x \):

\( 3 + 3n — 3 = 3x \), \( 3x = 3n \), следовательно:

\( x = n \)

Теперь находим сумму \( S_n \) первых \( n \) членов прогрессии с помощью формулы для суммы арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 165 \)

Подставляем \( a_1 = 3 \) и \( a_n = 3n \) в формулу для суммы:

\( (3 + 3n)n = 330 \)

Упрощаем:

\( n(3n + 7) — 370 = 0 \)

Получаем квадратное уравнение:

\( 3n^2 + 7n — 370 = 0 \)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 370 = 49 + 4440 = 4489 \)

Находим корни уравнения:

\( n_1 = \frac{-7 — 67}{6} = -\frac{74}{6} \), \( n_2 = \frac{-7 + 67}{6} = 10 \)

Так как \( n \) должно быть положительным, то \( n = 10 \).

Теперь находим \( x \):

\( x = 3 \cdot 10 + 2 = 30 + 2 = 32 \)

Ответ: \( n = 10\).