ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 743 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите х, зная, что слагаемые в левой части уравнения составляют арифметическую прогрессию:

а) 2+8+14+…+х=184; б) 5+8+11+…+х=185.

В арифметической прогрессии:

a) \( 2 + 8 + 14 + \ldots + x = 184; \)

\[ a_1 = 2, \, a_2 = 8, \, a_n = x; \]

\[ d = a_2 — a_1 = 8 — 2 = 6; \]

\[ a_n = a_1 + d(n — 1) = x; \]

\[ 2 + 6n — 6 = x, \, x = 6n — 4; \]

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 184; \]

\[ (2 + 6n — 4)n = 368; \]

\[ n(6n — 2) — 368 = 0; \]

\[ 6n^2 — 2n — 368 = 0; \]

\[ 3n^2 — n — 184 = 0; \]

\[ D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 184 = 1 + 2208 = 2209, \text{ тогда:} \]

\[ n_1 = \frac{-1 — 47}{2 \cdot 3} = \frac{-48}{6} = -8, \quad n_2 = \frac{1 + 47}{2 \cdot 3} = 8; \]

\[ x = 6 \cdot 8 — 4 = 48 — 4 = 44; \]

Ответ: 44.

b) \( 5 + 8 + 11 + \ldots + x = 185; \)

\[ a_1 = 5, \, a_2 = 8, \, a_n = x; \]

\[ d = a_2 — a_1 = 8 — 5 = 3; \]

\[ a_n = a_1 + d(n — 1) = x; \]

\[ 5 + 3n — 3 = x, \, x = 3n + 2; \]

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 185; \]

\[ (5 + 3n + 2)n = 370; \]

\[ n(3n + 7) — 370 = 0; \]

\[ 3n^2 + 7n — 370 = 0; \]

\[ D = 7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 370 = 49 + 4440 = 4489, \text{ тогда:} \]

\[ n_1 = \frac{-7 — 67}{2 \cdot 3} = \frac{-74}{6}, \quad n_2 = \frac{-7 + 67}{2 \cdot 3} = 10; \]

\[ x = 3 \cdot 10 + 2 = 30 + 2 = 32; \]

Ответ: 32.

Задача: Найти значение \( x \) в арифметической прогрессии.

a) \( 2 + 8 + 14 + \ldots + x = 184 \)

Даны значения:

\( a_1 = 2, \, a_2 = 8, \, a_n = x \)

Для нахождения разности прогрессии используем формулу для разности арифметической прогрессии:

\( d = a_2 — a_1 \)

Подставляем значения:

\( d = 8 — 2 = 6 \)

Теперь найдём \( x \) (или \( a_n \)), используя формулу для \( n \)-го члена прогрессии:

\( a_n = a_1 + d(n — 1) = x \)

Подставляем \( a_1 = 2 \), \( d = 6 \), и \( a_n = x \):

\( 2 + 6n — 6 = x \), \( x = 6n — 4 \)

Теперь находим сумму \( S_n \) первых \( n \) членов прогрессии с помощью формулы для суммы арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 184 \)

Подставляем \( a_1 = 2 \) и \( a_n = 6n — 4 \) в формулу для суммы:

\( (2 + 6n — 4)n = 368 \)

Упрощаем уравнение:

\( n(6n — 2) — 368 = 0 \)

Получаем квадратное уравнение:

\( 6n^2 — 2n — 368 = 0 \)

Умножаем на 1/2:

\( 3n^2 — n — 184 = 0 \)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 184 = 1 + 2208 = 2209 \)

Находим корни уравнения:

\( n_1 = \frac{-1 — 47}{6} = -8 \), \( n_2 = \frac{-1 + 47}{6} = 8 \)

Так как \( n \) должно быть положительным, то \( n = 8 \).

Теперь находим \( x \):

\( x = 6 \cdot 8 — 4 = 48 — 4 = 44 \)

Ответ: \( n = 8, \, a_{8} = 44 \).

b) \( 5 + 8 + 11 + \ldots + x = 185 \)

Даны значения:

\( a_1 = 5, \, a_2 = 8, \, a_n = x \)

Для нахождения разности прогрессии используем формулу для разности арифметической прогрессии:

\( d = a_2 — a_1 \)

Подставляем значения:

\( d = 8 — 5 = 3 \)

Теперь найдём \( x \) (или \( a_n \)), используя формулу для \( n \)-го члена прогрессии:

\( a_n = a_1 + d(n — 1) = x \)

Подставляем \( a_1 = 5 \), \( d = 3 \), и \( a_n = x \):

\( 5 + 3n — 3 = x \), \( x = 3n + 2 \)

Теперь находим сумму \( S_n \) первых \( n \) членов прогрессии с помощью формулы для суммы арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 185 \)

Подставляем \( a_1 = 5 \) и \( a_n = 3n + 2 \) в формулу для суммы:

\( (5 + 3n + 2)n = 370 \)

Упрощаем:

\( n(3n + 7) — 370 = 0 \)

Получаем квадратное уравнение:

\( 3n^2 + 7n — 370 = 0 \)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 370 = 49 + 4440 = 4489 \)

Находим корни уравнения:

\( n_1 = \frac{-7 — 67}{6} = -\frac{74}{6} \), \( n_2 = \frac{-7 + 67}{6} = 10 \)

Так как \( n \) должно быть положительным, то \( n = 10 \).

Теперь находим \( x \):

\( x = 3 \cdot 10 + 2 = 30 + 2 = 32 \)

Ответ: \( n = 10, \, x = 32 \).