ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 741 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии (a_n) найдите:

а) n и a_n, если a_1=-12, d=1,5, S_n=13,5;

б) n и a_1, если a_n=-7,5, d=-2,5, S_n=75.

В арифметической прогрессии:

a) \( a_1 = -12 \), \( d = 1,5 \), \( S_n = 13,5; \)

\[ S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n = 13,5; \]

\[ (-24 + 1,5n — 1,5)n = 27; \]

\[ n(1,5n — 25,5) — 27 = 0; \]

\[ 1,5n^2 — 25,5n — 27 = 0; \]

\[ 3n^2 — 51n — 54 = 0; \]

\[ n^2 — 17n — 18 = 0; \]

\[ D = 17^2 + 4 \cdot 18 = 289 + 72 = 361, \text{ тогда:} \]

\[ n_1 = \frac{17 — 19}{2} = -1, \quad n_2 = \frac{17 + 19}{2} = 18; \]

\[ a_{18} = -12 + 1,5 \cdot 17 = 25,5 — 12 = 13,5; \]

Ответ: \( n = 18; \, a_{18} = 13,5. \)

b) \( a_n = -7,5 \), \( d = -2,5 \), \( S_n = 75; \)

\[ a_n = a_1 + d(n — 1) = -7,5; \]

\[ a_1 — 2,5n + 2,5 = -7,5; \]

\[ a_1 = 2,5n — 10; \]

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 75; \]

\[ (2,5n — 10 — 7,5)n = 150; \]

\[ n(2,5n — 17,5) — 150 = 0; \]

\[ 2,5n^2 — 17,5n — 150 = 0; \]

\[ 5n^2 — 35n — 300 = 0; \]

\[ n^2 — 7n — 60 = 0; \]

\[ D = 7^2 + 4 \cdot 60 = 49 + 240 = 289, \text{ тогда:} \]

\[ n_1 = \frac{7 — 17}{2} = -5, \quad n_2 = \frac{7 + 17}{2} = 12; \]

\[ a_1 = 2,5 \cdot 12 — 10 = 30 — 10 = 20; \]

Ответ: \( n = 12; \, a_1 = 20. \)

Задача: Найти значения для арифметической прогрессии.

a) \( a_1 = -12 \), \( d = 1,5 \), \( S_n = 13,5 \)

Используем формулу для суммы \( S_n \) первых \( n \) членов арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n = 13,5 \)

Подставляем \( a_1 = -12 \), \( d = 1,5 \) в формулу для суммы:

\( (-24 + 1,5n — 1,5)n = 27 \)

Упростим уравнение:

\( n(1,5n — 25,5) — 27 = 0 \)

Далее получаем квадратное уравнение:

\( 1,5n^2 — 25,5n — 27 = 0 \)

Умножаем на 2, чтобы избавиться от десятичных:

\( 3n^2 — 51n — 54 = 0 \)

Получаем уравнение:

\( n^2 — 17n — 18 = 0 \)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 17^2 + 4 \cdot 18 = 289 + 72 = 361 \)

Находим корни:

\( n_1 = \frac{17 — 19}{2} = -1 \), \( n_2 = \frac{17 + 19}{2} = 18 \)

Так как \( n \) — положительное целое число, то \( n = 18 \).

Находим \( a_{18} \):

\( a_{18} = -12 + 1,5 \cdot 17 = 25,5 — 12 = 13,5 \)

Ответ: \( n = 18, \, a_{18} = 13,5 \).

b) \( a_n = -7,5 \), \( d = -2,5 \), \( S_n = 75 \)

Используем формулу для \( a_n \):

\( a_n = a_1 + d(n — 1) = -7,5 \)

Подставляем в уравнение для \( a_n \):

\( a_1 — 2,5n + 2,5 = -7,5 \)

Упростим:

\( a_1 = 2,5n — 10 \)

Теперь используем формулу для суммы \( S_n \):

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 75 \)

Подставляем \( a_1 = 2,5n — 10 \) и \( a_n = -7,5 \) в уравнение для суммы:

\( (2,5n — 10 — 7,5)n = 150 \)

Упростим:

\( n(2,5n — 17,5) — 150 = 0 \)

Далее получаем квадратное уравнение:

\( 2,5n^2 — 17,5n — 150 = 0 \)

Умножаем на 2:

\( 5n^2 — 35n — 300 = 0 \)

Получаем:

\( n^2 — 7n — 60 = 0 \)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 7^2 + 4 \cdot 60 = 49 + 240 = 289 \)

Находим корни:

\( n_1 = \frac{7 — 17}{2} = -5 \), \( n_2 = \frac{7 + 17}{2} = 12 \)

Так как \( n \) — положительное целое число, то \( n = 12 \).

Находим \( a_1 \):

\( a_1 = 2,5 \cdot 12 — 10 = 30 — 10 = 20 \)

Ответ: \( n = 12, \, a_1 = 20 \).