ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 740 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Пользуясь методом математической индукции, докажите, что если (a_n) — арифметическая прогрессия, то a_n=a_1+d(n-1), S_n=(2a_1+d(n-1))/2·n.Пользуясь методом математической индукции, докажите, что если (a_n) — арифметическая прогрессия, то a_n=a_1+d(n-1), S_n=(2a_1+d(n-1))/2·n.

Доказать равенства:

1) \( a_n = a_1 + d(n — 1); \)

Если \( n = 1 \), тогда:

\[ a_1 = a_1 + d \cdot 0 = a_1; \]

Если \( n = k + 1 \), тогда:

\[ a_n — a_{n-1} = a_1 + dk — a_1 — d(k — 1); \]

\[ a_n — a_{n-1} = 0 + dk — dk + d = d; \]

Что и требовалось доказать.

2) \( S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n; \)

Если \( n = 1 \), тогда:

\[ S_1 = \frac{2a_1 + d \cdot 0}{2} = a_1; \]

Если \( n = k + 1 \), тогда:

\[ S_n — S_{n-1} = \frac{2a_1 + dk}{2} \cdot (k + 1) — \frac{2a_1 + d(k — 1)}{2} \cdot k = \]

\[ = \frac{2a_1k + 2a_1 + dk^2 + dk}{2} — \frac{2a_1k + dk^2 — dk}{2} = \]

\[ = \frac{2a_1 + 2dk}{2} = a_1 + dk; \]

\[ a_1 + dk = a_1 + d(n — 1) = a_n; \]

Что и требовалось доказать.

Доказать равенства:

1) \( a_n = a_1 + d(n — 1) \)

Для доказательства равенства рассмотрим два случая:

Если \( n = 1 \):

Подставляем \( n = 1 \) в уравнение:

\( a_1 = a_1 + d \cdot 0 = a_1 \)

Это верно, так как \( a_1 = a_1 \).

Если \( n = k + 1 \):

Подставляем \( n = k + 1 \) в уравнение:

\( a_n — a_{n-1} = a_1 + dk — a_1 — d(k — 1) \)

Упростим:

\( a_n — a_{n-1} = 0 + dk — dk + d = d \)

Таким образом, разность между \( a_n \) и \( a_{n-1} \) равна \( d \).

Ответ: Равенство доказано.

2) \( S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n \)

Для доказательства второго равенства также рассмотрим два случая:

Если \( n = 1 \):

Подставляем \( n = 1 \) в уравнение:

\( S_1 = \frac{2a_1 + d \cdot 0}{2} = a_1 \)

Это верно, так как \( S_1 = a_1 \).

Если \( n = k + 1 \):

Подставляем \( n = k + 1 \) в уравнение для разности сумм:

\( S_n — S_{n-1} = \frac{2a_1 + dk}{2} \cdot (k + 1) — \frac{2a_1 + d(k — 1)}{2} \cdot k \)

Упростим разность:

\( S_n — S_{n-1} = \frac{2a_1k + 2a_1 + dk^2 + dk}{2} — \frac{2a_1k + dk^2 — dk}{2} \)

Получаем:

\( S_n — S_{n-1} = \frac{2a_1 + 2dk}{2} = a_1 + dk \)

Но по определению, \( a_n = a_1 + d(n — 1) \), следовательно:

\( a_n = a_1 + dk \), что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.