ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 739 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Проверьте правильность утверждения Диофанта (III в. н. э.): если а — некоторое треугольное число, то 8a+1 — квадратное число.

Если \( a \) — треугольное число,
то \( 8a + 1 \) — квадратное число:

1) Треугольные числа:

\( a_1 = 1, \, d = 1; \)

\( a_n = 1 + 1 \cdot (n — 1) = n; \)

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + n}{2} \cdot n; \]

\[ a = \frac{n(n+1)}{2}, \quad 2a = n(n + 1); \]

2) Квадратные числа:

\[ 8a + 1 = k^2, \quad k \in \mathbb{Z}; \]

\[ 4n(n + 1) + 1 = k^2; \]

\[ 4n^2 + 4n + 1 = k^2; \]

\[ (2n + 1)^2 = k^2. \]

Что и требовалось доказать.

Задача: Если \( a \) — треугольное число, то \( 8a + 1 \) — квадратное число.

1) Треугольные числа:

Треугольное число \( a_n \) для \( n \)-го члена арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\( a_n = a_1 + (n — 1) \cdot d \)

Даны значения: \( a_1 = 1 \), \( d = 1 \). Подставляем в формулу:

\( a_n = 1 + 1 \cdot (n — 1) = n \)

Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии (сумма первых \( n \) треугольных чисел) вычисляется по формуле:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + n}{2} \cdot n \)

Общее выражение для \( n \)-го треугольного числа:

\( a = \frac{n(n+1)}{2} \)

Умножаем на 2:

\( 2a = n(n + 1) \)

Ответ: \( a_n = n, \, S_n = \frac{1 + n}{2} \cdot n \), \( a = \frac{n(n+1)}{2}, \, 2a = n(n + 1) \).

2) Квадратные числа:

Теперь рассмотрим выражение \( 8a + 1 \). По гипотезе, оно должно быть квадратом числа:

\( 8a + 1 = k^2, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Подставляем выражение для \( a \):

\( 8a + 1 = 8 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} + 1 = 4n(n + 1) + 1 \)

Получаем:

\( 4n(n + 1) + 1 = k^2 \)

Раскрываем:

\( 4n^2 + 4n + 1 = k^2 \)

Сравниваем с квадратом бинома:

\( (2n + 1)^2 = k^2 \)

Ответ: Доказано, что \( 8a + 1 = k^2 \), где \( k = 2n + 1 \), что и требовалось доказать.