ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 737 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что сумма к последовательных натуральных чисел:

а) делится на к, если к — нечётное число;

б) не делится на к, если к — чётное число.

Сумма \( k \) всех последовательных натуральных чисел, начиная с \( n \):

а) Кратно \( k \), если \( k \) — нечётное число:

\[ a_1 = n, \, a_k = n + k — 1, \, S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k; \]

\[ \frac{S_k}{k} = \frac{2n + k — 1}{2} = n + \frac{k — 1}{2} \in \mathbb{Z}; \]

Что и требовалось доказать.

б Не кратно \( k \), если \( k \) — чётное число:
\[ a_1 = n, \, a_k = n + k — 1, \, S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k; \]

\[ \frac{S_k}{k} = \frac{2n + k — 1}{2} = n + \frac{k — 1}{2} \notin \mathbb{Z}; \]

Что и требовалось доказать.

Задача: Сумма \( k \) всех последовательных натуральных чисел, начиная с \( n \).

а) Кратно \( k \), если \( k \) — нечётное число:

Для нахождения суммы последовательных чисел, начиная с \( n \), используем формулу суммы первых \( k \) членов арифметической прогрессии:

\( a_1 = n, \, a_k = n + k — 1, \, S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k \)

Подставим \( a_1 = n \) и \( a_k = n + k — 1 \) в формулу для суммы:

\( S_k = \frac{n + (n + k — 1)}{2} \cdot k = \frac{2n + k — 1}{2} \cdot k \)

Для того чтобы сумма \( S_k \) была кратна \( k \), нужно, чтобы \( \frac{S_k}{k} \) было целым числом:

\( \frac{S_k}{k} = \frac{2n + k — 1}{2} = n + \frac{k — 1}{2} \)

Если \( k \) нечётное, то \( \frac{k — 1}{2} \) — целое число, следовательно, \( n + \frac{k — 1}{2} \) также будет целым числом.

Ответ: Сумма \( k \) последовательных чисел, начиная с \( n \), кратна \( k \), если \( k \) нечётное число.

б) Не кратно \( k \), если \( k \) — чётное число:

Теперь рассмотрим случай, когда \( k \) — чётное число:

Используем ту же формулу для суммы, как и в предыдущем случае:

\( a_1 = n, \, a_k = n + k — 1, \, S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k \)

Подставляем \( a_1 = n \) и \( a_k = n + k — 1 \):

\( S_k = \frac{n + (n + k — 1)}{2} \cdot k = \frac{2n + k — 1}{2} \cdot k \)

Для того чтобы сумма \( S_k \) была кратна \( k \), нужно, чтобы \( \frac{S_k}{k} \) было целым числом:

\( \frac{S_k}{k} = \frac{2n + k — 1}{2} = n + \frac{k — 1}{2} \)

Если \( k \) чётное, то \( \frac{k — 1}{2} \) не является целым числом, следовательно, \( n + \frac{k — 1}{2} \) не будет целым числом.

Ответ: Сумма \( k \) последовательных чисел, начиная с \( n \), не кратна \( k \), если \( k \) чётное число.