ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 732 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) (x^3-8x^2-x+8)/(x+6) > 0;

б) (x^5-x^4+x-1)/(3x+4) < 0.

Решить неравенство:

a)
\[ x^3 — 8x^2 — x + 8 \]

\[ \frac{x+6}{x+6} > 0; \]

\[ \frac{x^2(x-8)-(x-8)}{x+6} > 0; \]

\[ \frac{(x^2 — 1)(x-8)}{x+6} > 0; \]

\[ \frac{(x+1)(x-1)(x-8)}{x+6} > 0; \]

\[ x < -6, \, -1 < x < 1, \, x > 8; \]

Ответ: \( (-\infty; -6) \cup (-1; 1) \cup (8; +\infty) \).

b)
\[ \frac{x^5 — x^4 + x — 1}{3x + 4} < 0; \]

\[ \frac{x^4(x-1) — (x-1)}{3x + 4} < 0; \]

\[ \frac{(x^4 — 1)(x-1)}{3x + 4} < 0; \]

\[ \frac{(x^2 + 1)(x^2 — 1)(x-1)}{3x + 4} < 0; \]

\[ \frac{(x+1)(x-1)^2}{3x + 4} < 0; \]

\[ x \neq 1, \, x \neq -\frac{1}{3}; \]

Ответ: \( (- 1 \frac{1}{3}; — 1) \).

Решение неравенств:

a) \( x^3 — 8x^2 — x + 8 \)

Неравенство: \( \frac{x+6}{x+6} > 0 \)

Мы начинаем с выражения: \( \frac{x+6}{x+6} > 0 \), которое можно упростить до 1, если \( x \neq -6 \), так как при \( x = -6 \) выражение не определено.

Далее рассмотрим уравнение:

\( \frac{x^2(x-8) — (x-8)}{x+6} > 0 \)

Факторизуем числитель:

\( \frac{(x^2 — 1)(x-8)}{x+6} > 0 \)

Далее, разлагаем \( x^2 — 1 \) как разность квадратов:

\( \frac{(x+1)(x-1)(x-8)}{x+6} > 0 \)

Теперь рассмотрим интервалы на оси чисел, где данное выражение положительно. Мы анализируем знак числителя и знаменателя на каждом из интервалов:

\( x < -6 \), \( -1 < x < 1 \), \( x > 8 \).

Ответ: \( (-\infty; -6) \cup (-1; 1) \cup (8; +\infty) \).

b) \( \frac{x^5 — x^4 + x — 1}{3x + 4} < 0 \)

Исходное неравенство: \( \frac{x^5 — x^4 + x — 1}{3x + 4} < 0 \)

Мы начинаем с разложения числителя:

\( \frac{x^4(x-1) — (x-1)}{3x + 4} < 0 \)

Факторизуем числитель:

\( \frac{(x^4 — 1)(x-1)}{3x + 4} < 0 \)

Применяем разложение \( x^4 — 1 = (x^2 + 1)(x^2 — 1) \):

\( \frac{(x^2 + 1)(x^2 — 1)(x-1)}{3x + 4} < 0 \)

Разлагаем \( x^2 — 1 \) как разность квадратов:

\( \frac{(x+1)(x-1)^2}{3x + 4} < 0 \)

Анализируем знак выражения на интервалах с учетом критических точек \( x = -\frac{4}{3} \) (из знаменателя) и \( x = 1 \) (из числителя).

\( x \neq 1, \, x \neq -\frac{1}{3} \).

Ответ: \( (-1 \frac{1}{3};  -1) \).