ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 730 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если числа а, b, с — три последовательных члена арифметической прогрессии, то числа a^2+ab+b^2, a^2+ac+c^2, b^2+bc+c^2 также являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия:

\( a^2 + ab + b^2, \, a^2 + ac + c^2, \, b^2 + bc + c^2; \)

1) В данной прогрессии:

\( b = a + d, \, c = a + 2d; \)

\( a + 2c = a + 2a + 4d = 3a + 4d; \)

\( c — b = a + 2d — a — d = d; \)

\( a + 2b = a + 2a + 2d = 3a + 2d; \)

2) По свойству прогрессии:

\[ a^2 + ac + c^2 = \frac{(a^2 + ab + b^2) + (b^2 + bc + c^2)}{2}; \]

\[ 2a^2 + 2ac + 2c^2 = a^2 + ab + 2b^2 + bc + c^2; \]

\[ a^2 + 2ac + c^2 — ab — 2b^2 — bc = 0; \]

\[ a(a + 2c) + c(c — b) — b(a + 2b) = 0; \]

\[ a(3a + 4d) + (a + 2d)d — (a + d)(3a + 2d) = 0; \]

\[ 3a^2 + 4ad + ad + 2d^2 — 3a^2 — 2ad — 3ad — 2d^2 = 0; \]

\[ (3a^2 — 3a^2) + (5ad — 5ad) + (2d^2 — 2d^2) = 0; \]

Что и требовалось доказать.

Дана арифметическая прогрессия:

\( a^2 + ab + b^2, \, a^2 + ac + c^2, \, b^2 + bc + c^2 \)

1) В данной прогрессии:

Для того чтобы последовательность была арифметической прогрессией, члены прогрессии должны удовлетворять следующим условиям:

\( b = a + d \), \( c = a + 2d \).

Подставим это в выражение \( a + 2c \):

\( a + 2c = a + 2(a + 2d) = 3a + 4d \).

Для разности между \( c \) и \( b \):

\( c — b = (a + 2d) — (a + d) = d \).

Для выражения \( a + 2b \):

\( a + 2b = a + 2(a + d) = 3a + 2d \).

Ответ: \( b = a + d, \, c = a + 2d \), \( a + 2c = 3a + 4d \), \( c — b = d \), \( a + 2b = 3a + 2d \).

2) По свойству прогрессии:

Используем свойство арифметической прогрессии, согласно которому средний член равен полусумме первого и третьего члена прогрессии:

Записываем:

\( a^2 + ac + c^2 = \frac{(a^2 + ab + b^2) + (b^2 + bc + c^2)}{2} \).

Умножаем обе стороны на 2:

\( 2a^2 + 2ac + 2c^2 = a^2 + ab + 2b^2 + bc + c^2 \).

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\( a^2 + 2ac + c^2 — ab — 2b^2 — bc = 0 \).

Разбиваем на части:

\( a(a + 2c) + c(c — b) — b(a + 2b) = 0 \).

Подставляем выражения для \( b = a + d \) и \( c = a + 2d \):

\( a(3a + 4d) + (a + 2d)d — (a + d)(3a + 2d) = 0 \).

Раскрываем скобки:

\( 3a^2 + 4ad + ad + 2d^2 — 3a^2 — 2ad — 3ad — 2d^2 = 0 \).

Упрощаем:

\( (3a^2 — 3a^2) + (5ad — 5ad) + (2d^2 — 2d^2) = 0 \).

Ответ: \( 0 = 0 \), что и требовалось доказать.