ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 729 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях х числа x^2-3, 2x^2+1 и x^4+1, взятые в указанном порядке, являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии?

Арифметическая прогрессия: \( x^2 — 3, \, 2x^2 + 1, \, x^4 + 1; \)

Решение по свойству прогрессии:

\[ 2x^2 + 1 = \frac{(x^2 — 3) + (x^4 + 1)}{2}; \]

\[ 4x^2 + 2 = x^2 + x^4 — 2; \]

\[ x^4 — 3x^2 — 4 = 0; \]

Дискриминант:

\[ D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25; \]

Корни уравнения:

\[ x_1^2 = \frac{-3 — 5}{2} = -1, \quad x_2^2 = \frac{-3 + 5}{2} = 4; \]

\[ x_1 \not\in \mathbb{R}, \, x_2 = \pm 2; \]

Ответ:

\(-2; \, 2.\)

Арифметическая прогрессия:

Даны члены прогрессии: \( x^2 — 3, \, 2x^2 + 1, \, x^4 + 1 \).

Решение по свойству прогрессии:

Для того чтобы последовательность была арифметической прогрессией, выполняется следующее условие:

Среднее значение между первым и третьим членом должно быть равно второму члену прогрессии:

\( 2x^2 + 1 = \frac{(x^2 — 3) + (x^4 + 1)}{2} \).

Умножаем обе стороны на 2:

\( 4x^2 + 2 = x^2 + x^4 — 2 \).

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\( x^4 — 3x^2 — 4 = 0 \).

Дискриминант:

Теперь решаем полученное квадратное уравнение относительно \( x^2 \). Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно \( x^2 \):

\( x^4 — 3x^2 — 4 = 0 \), подставим \( y = x^2 \):

\( y^2 — 3y — 4 = 0 \).

Вычисляем дискриминант:

\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \).

Найдем корни уравнения для \( y \):

\( y_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{25}}{2} = \frac{3 — 5}{2} = -1 \),

\( y_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \).

Ответ: \( x_1 \not\in \mathbb{R}, \, x_2 = \pm 2 \).

Ответ: \( x = -2 \) или \( x = 2 \).