ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 726 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что (a_n) — возрастающая арифметическая прогрессия, в которой a_1·a_4=45, a_2·a_3=77. Найдите первые четыре члена этой прогрессии.

В арифметической прогрессии:
\( a_1 \cdot a_4 = 45, \, a_2 \cdot a_3 = 77, \, d > 0; \)

1) Первое равенство:

\( a_1 \cdot (a_1 + 3d) = 45; \)

\( a_1^2 + 3a_1d = 45; \)

2) Второе равенство:

\( (a_1 + d) \cdot (a_1 + 2d) = 77; \)

\( a_1^2 + 3a_1d + 2d^2 = 77; \)

\( 45 + 2d^2 = 77, \, 2d^2 = 32; \)

\( d^2 = 16, \, d = \sqrt{16} = 4; \)

3) Первое равенство:

\( a_1^2 + 12a_1 — 45 = 0; \)

\( D = 12^2 + 4 \cdot 45 = 144 + 180 = 324, \) тогда:

\( a_{1,1} = \frac{-12 — 18}{2} = -15 \, \text{и} \, a_{1,2} = \frac{-12 + 18}{2} = 3; \)

4) Первое значение:

\( a_2 = a_1 + d = -15 + 4 = -11; \)

\( a_3 = a_2 + d = -11 + 4 = -7; \)

\( a_4 = a_3 + d = -7 + 4 = -3; \)

5) Второе значение:

\( a_2 = a_1 + d = 3 + 4 = 7; \)

\( a_3 = a_2 + d = 7 + 4 = 11; \)

\( a_4 = a_3 + d = 11 + 4 = 15; \)

Ответ: \(-15; -11; -7; -3 \, \text{или} \, 3; 7; 11; 15.\)

Дана арифметическая прогрессия:

\( a_1 \cdot a_4 = 45, \, a_2 \cdot a_3 = 77, \, d > 0; \)

1) Первое равенство:

Для первого равенства \( a_1 \cdot a_4 = 45 \), выражаем \( a_4 \) через \( a_1 \) и разность \( d \):

\( a_4 = a_1 + 3d \), подставляем в уравнение:

\( a_1 \cdot (a_1 + 3d) = 45 \)

Раскрываем скобки:

\( a_1^2 + 3a_1d = 45 \)

Ответ: \( a_1^2 + 3a_1d = 45 \).

2) Второе равенство:

Для второго равенства \( a_2 \cdot a_3 = 77 \), где \( a_2 = a_1 + d \), \( a_3 = a_1 + 2d \), подставляем эти выражения в уравнение:

\( (a_1 + d) \cdot (a_1 + 2d) = 77 \)

Раскрываем скобки:

\( a_1^2 + 3a_1d + 2d^2 = 77 \)

Теперь подставим \( 45 \) для \( a_1^2 + 3a_1d \) из первого равенства:

\( 45 + 2d^2 = 77 \)

Решаем относительно \( d^2 \):

\( 2d^2 = 32 \), следовательно:

\( d^2 = 16 \), и \( d = 4 \) (так как \( d > 0 \)).

Ответ: \( d = 4 \).

3) Первое равенство для \( a_1 \):

Теперь подставим найденное значение \( d = 4 \) в первое равенство:

\( a_1^2 + 3a_1d = 45 \), подставляем \( d = 4 \):

\( a_1^2 + 12a_1 = 45 \)

Приводим уравнение к стандартному виду:

\( a_1^2 + 12a_1 — 45 = 0 \)

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = 12^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 144 + 180 = 324 \)

Найдем корни:

\( a_{1,1} = \frac{-12 — 18}{2} = -15 \) и \( a_{1,2} = \frac{-12 + 18}{2} = 3 \).

Ответ: \( a_1 = -15 \) или \( a_1 = 3 \).

4) Искомые члены для первого значения \( a_1 = -15 \):

Для \( a_2 \):

\( a_2 = a_1 + d = -15 + 4 = -11 \)

Для \( a_3 \):

\( a_3 = a_2 + d = -11 + 4 = -7 \)

Для \( a_4 \):

\( a_4 = a_3 + d = -7 + 4 = -3 \)

Ответ: \( a_2 = -11, a_3 = -7, a_4 = -3 \).

5) Искомые члены для второго значения \( a_1 = 3 \):

Для \( a_2 \):

\( a_2 = a_1 + d = 3 + 4 = 7 \)

Для \( a_3 \):

\( a_3 = a_2 + d = 7 + 4 = 11 \)

Для \( a_4 \):

\( a_4 = a_3 + d = 11 + 4 = 15 \)

Ответ: \( a_2 = 7, a_3 = 11, a_4 = 15 \).

Ответ: Для \( a_1 = -15 \), члены прогрессии: \( -15, -11, -7, -3 \). Для \( a_1 = 3 \), члены прогрессии: \( 3, 7, 11, 15 \).