ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 724 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии a_5/a_3=7/4. Докажите, что a_7=4a_2.

Арифметическая прогрессия:

\( a_5 = \frac{7}{4} a_3, \, a_7 = 4a_2; \)

1) Разность прогрессии:

\( a_1 + 4d \, / \, a_1 + 2d = \frac{7}{4}; \)

\( 4(a_1 + 4d) = 7(a_1 + 2d); \)

\( 4a_1 + 16d = 7a_1 + 14d; \)

\( 3a_1 = 2d, \, a_1 = \frac{2}{3}d; \)

2) Докажем равенство:
\( \frac{a_7}{a_2} = \frac{a_1 + 6d}{a_1 + d} = \frac{\frac{2}{3}d + 6d}{\frac{2}{3}d + d}; \)

\( \frac{a_7}{a_2} = \frac{2d + 18d}{2d + 3d} = \frac{20d}{5d} = 4; \)

\( a_7 = 4a_2; \)

Что и требовалось доказать.

Арифметическая прогрессия:

Дано: \( a_5 = \frac{7}{4} a_3, \, a_7 = 4a_2 \)

1) Разность прогрессии:

Используем общую формулу для членов арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n — 1) \cdot d \), где \( a_1 \) — первый член, а \( d \) — разность прогрессии.

Сначала выразим \( a_5 \) и \( a_3 \):

\( a_5 = a_1 + 4d \)

\( a_3 = a_1 + 2d \)

Теперь подставим данные условия в уравнение \( a_5 = \frac{7}{4} a_3 \):

\( a_1 + 4d = \frac{7}{4} (a_1 + 2d) \)

Умножаем обе стороны на 4:

\( 4(a_1 + 4d) = 7(a_1 + 2d) \)

Раскрываем скобки:

\( 4a_1 + 16d = 7a_1 + 14d \)

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\( 4a_1 + 16d — 7a_1 — 14d = 0 \)

Упрощаем:

\( -3a_1 + 2d = 0 \)

Таким образом, \( 3a_1 = 2d \), и отсюда:

\( a_1 = \frac{2}{3}d \).

Ответ: \( a_1 = \frac{2}{3}d \).

2) Докажем равенство:

Необходимо доказать, что \( \frac{a_7}{a_2} = 4 \). Для этого рассмотрим выражения для \( a_7 \) и \( a_2 \):

\( a_7 = a_1 + 6d \), так как \( a_7 \) — это седьмой член прогрессии.

\( a_2 = a_1 + d \), так как \( a_2 \) — это второй член прогрессии.

Подставим выражения для \( a_7 \) и \( a_2 \) в выражение для их отношения:

\( \frac{a_7}{a_2} = \frac{a_1 + 6d}{a_1 + d} \).

Подставляем \( a_1 = \frac{2}{3}d \) в это выражение:

\( \frac{a_7}{a_2} = \frac{\frac{2}{3}d + 6d}{\frac{2}{3}d + d} \).

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: \( \frac{2}{3}d + 6d = 2d + 18d = 20d \).

Знаменатель: \( \frac{2}{3}d + d = 2d + 3d = 5d \).

Получаем:

\( \frac{a_7}{a_2} = \frac{20d}{5d} = 4 \).

Ответ: \( a_7 = 4a_2 \), что и требовалось доказать.