ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 720 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Могут ли быть членами одной арифметической прогрессии (не обязательно последовательными) числа: а) v2, v8, v128; б) 3, v5, 7?

Могут ли являться членами арифметической прогрессии:

a) \( \sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{128}; \)

\( kd = \sqrt{8} — \sqrt{2} = 2\sqrt{2} — \sqrt{2} = \sqrt{2}; \)

\( nd = \sqrt{128} — \sqrt{8} = 8\sqrt{2} — 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}; \)

\( \frac{k}{n} = \frac{kd}{nd} = \frac{\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{6} \in \mathbb{Q}; \)

Ответ да.

б) \( 3, \sqrt{5}, 7; \)
\( kd = \sqrt{5} — 3, \quad nd = 7 — \sqrt{5}; \)

\( \frac{k}{n} = \frac{kd}{nd} = \frac{\sqrt{5} — 3}{7 — \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5} — 3)(7 + \sqrt{5})}{(7 — \sqrt{5})(7 + \sqrt{5})}; \)

\( \frac{k}{n} = \frac{4\sqrt{5} — 16}{44} = \frac{\sqrt{5} — 4}{11} \notin \mathbb{Q}; \)

Ответ: нет.

а) \( \sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{128} \):

Давайте проверим, могут ли данные числа быть членами арифметической прогрессии. Для этого найдем разность между членами прогрессии.

Для \( k \) и \( d \):

\( kd = \sqrt{8} — \sqrt{2} = 2\sqrt{2} — \sqrt{2} = \sqrt{2} \).

Для \( n \) и \( d \):

\( nd = \sqrt{128} — \sqrt{8} = 8\sqrt{2} — 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \).

Теперь проверим, является ли отношение разностей \( \frac{k}{n} \) рациональным числом:

\( \frac{k}{n} = \frac{kd}{nd} = \frac{\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{6} \in \mathbb{Q} \).

Ответ: да, эти числа могут быть членами арифметической прогрессии.

б) \( 3, \sqrt{5}, 7 \):

Теперь проверим, могут ли эти числа быть членами арифметической прогрессии.

Для разности между первым и вторым членом:

\( kd = \sqrt{5} — 3 \).

Для разности между вторым и третьим членом:

\( nd = 7 — \sqrt{5} \).

Теперь найдем отношение этих разностей:

\( \frac{k}{n} = \frac{kd}{nd} = \frac{\sqrt{5} — 3}{7 — \sqrt{5}} \).

Применим метод рационализации знаменателя:

\( \frac{k}{n} = \frac{(\sqrt{5} — 3)(7 + \sqrt{5})}{(7 — \sqrt{5})(7 + \sqrt{5})} \).

После раскрытия скобок в числителе и знаменателе получаем:

\( \frac{k}{n} = \frac{4\sqrt{5} — 16}{44} = \frac{\sqrt{5} — 4}{11} \notin \mathbb{Q} \).

Ответ: нет, эти числа не могут быть членами арифметической прогрессии.