ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 719 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Между числами 2 и 42 вставьте несколько чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию, если известно, что сумма первого, второго и последнего из вставленных чисел равна 56.

Дана арифметическая прогрессия:

\( a_1 = 2, \quad a_n = 42, \quad a_2 + a_3 + a_{n-1} = 56; \)

1) Разность прогрессии:

\( a_n = a_1 + d(n — 1) = 42; \)

\( 2 + d(n-1) = 42; \)

\( d(n-1) = 40, \quad d = \frac{40}{n-1}; \)

2) Из заданного равенства:

\( a_1 + d + a_1 + 2d + a_1 + d(n-2) = 56; \)

\( 3a_1 + 3d + dn — 2d = 56, \quad d + dn = 50; \)

\( d(n+1) = 50, \quad \frac{40(n+1)}{n-1} = 50; \)

\( 40n + 40 = 50n — 50; \)

\( 10n = 90, \quad n = 9; \)

\( d = \frac{40}{9-1} = \frac{40}{8} = 5; \)

3) Искомые члены:
\( a_2 = a_1 + d = 2 + 5 = 7; \)

\( a_3 = a_2 + d = 7 + 5 = 12; \)

\( a_4 = a_3 + d = 12 + 5 = 17; \)

\( a_5 = a_4 + d = 17 + 5 = 22; \)

\( a_6 = a_5 + d = 22 + 5 = 27; \)

\( a_7 = a_6 + d = 27 + 5 = 32; \)

\( a_8 = a_7 + d = 32 + 5 = 37; \)

Ответ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Дано:

Арифметическая прогрессия: \( a_1 = 2, \quad a_n = 42, \quad a_2 + a_3 + a_{n-1} = 56 \)

1) Разность прогрессии:

Используем формулу для \( a_n \) в арифметической прогрессии:

\( a_n = a_1 + d(n — 1) = 42 \)

Подставляем известные значения: \( a_1 = 2 \), получаем:

\( 2 + d(n-1) = 42 \).

Преобразуем уравнение:

\( d(n-1) = 40 \), следовательно:

\( d = \frac{40}{n-1} \).

2) Из заданного равенства:

Теперь используем данное равенство \( a_2 + a_3 + a_{n-1} = 56 \), чтобы выразить все члены через \( d \):

Для \( a_2 = a_1 + d \), \( a_3 = a_1 + 2d \), \( a_{n-1} = a_1 + d(n — 2) \). Подставляем эти выражения:

\( a_2 + a_3 + a_{n-1} = (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + d(n — 2)) = 56 \).

Упростим:

\( 3a_1 + 3d + d(n — 2) = 56 \), что можно переписать как:

\( 3a_1 + 3d + dn — 2d = 56 \).

Подставляем \( a_1 = 2 \):

\( 3 \cdot 2 + 3d + dn — 2d = 56 \) ⟹ \( 6 + 3d + dn — 2d = 56 \).

Собираем подобные члены:

\( d(n + 1) = 50 \).

Теперь подставляем \( d = \frac{40}{n — 1} \) из предыдущего шага:

\( \frac{40}{n — 1}(n + 1) = 50 \).

Умножаем обе стороны на \( n — 1 \):

\( 40n + 40 = 50n — 50 \).

Решаем относительно \( n \):

\( 10n = 90 \), следовательно:

\( n = 9 \).

Теперь находим разность \( d \):

\( d = \frac{40}{9 — 1} = \frac{40}{8} = 5 \).

3) Искомые члены:

Теперь, зная разность прогрессии \( d = 5 \), найдем искомые члены:

Для \( a_2 \) подставляем в формулу:

\( a_2 = a_1 + d = 2 + 5 = 7 \).

Для \( a_3 \):

\( a_3 = a_2 + d = 7 + 5 = 12 \).

Для \( a_4 \):

\( a_4 = a_3 + d = 12 + 5 = 17 \).

Для \( a_5 \):

\( a_5 = a_4 + d = 17 + 5 = 22 \).

Для \( a_6 \):

\( a_6 = a_5 + d = 22 + 5 = 27 \).

Для \( a_7 \):

\( a_7 = a_6 + d = 27 + 5 = 32 \).

Для \( a_8 \):

\( a_8 = a_7 + d = 32 + 5 = 37 \).

Ответ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.