ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 717 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что (a_n) — арифметическая прогрессия, в которой a_1=6, d=8, а (b_n) — арифметическая прогрессия, в которой b_1=2, d=3. Каждая из последовательностей содержит по 40 членов. Найдите все одинаковые члены последовательностей.

В арифметической прогрессии:

\( a_1 = 6, \quad d = 8, \quad b_1 = 2, \quad d = 3; \)

1) Последовательность \( a_n \):

\( a_n = 6 + 8 \cdot (n — 1) = 8n — 2; \)

2) Последовательность \( b_n \):

\( b_n = 2 + 3 \cdot (n — 1) = 3n — 1; \)

3) Общий член:

\( 8n — 2 = 3k — 1; \)

\( 9n — 3k — n = 1; \)

\( 3(3n — k) — n = 1; \)

\( 3m — n = 1, \quad m = 3n — k; \)

\( n = 3m — 1, \quad k = 3n — m; \)

\( n_1 = 3 — 1 = 2, \quad k_1 = 6 — 1 = 5; \)

\( n_2 = 6 — 1 = 5, \quad k_2 = 15 — 2 = 13; \)

\( n_3 = 9 — 1 = 8, \quad k_3 = 24 — 3 = 21; \)

\( n_4 = 12 — 1 = 11, \quad k_4 = 33 — 4 = 29; \)

\( n_5 = 15 — 1 = 14, \quad k_5 = 42 — 5 = 37; \)

\( n_6 = 18 — 1 = 17, \quad k_6 = 51 — 6 = 45; \)

4) Искомые члены:
\( a_2 = b_5 = 15 — 1 = 14; \)

\( a_5 = b_{13} = 39 — 1 = 38; \)

\( a_8 = b_{21} = 63 — 1 = 62; \)

\( a_{11} = b_{29} = 87 — 1 = 86; \)

\( a_{14} = b_{37} = 111 — 1 = 110; \)

Ответ: 14; 38; 62; 86; 110.

Дано:

В арифметической прогрессии:

\( a_1 = 6, \quad d = 8, \quad b_1 = 2, \quad d = 3; \)

1) Последовательность \( a_n \):

Общий вид члена арифметической прогрессии \( a_n \) можно выразить через первый член \( a_1 \) и разность \( d \):

\( a_n = a_1 + d \cdot (n — 1) \)

Подставляем значения \( a_1 = 6 \) и \( d = 8 \):

\( a_n = 6 + 8 \cdot (n — 1) = 8n — 2 \).

2) Последовательность \( b_n \):

Аналогично для последовательности \( b_n \), где \( b_1 = 2 \) и разность \( d = 3 \):

\( b_n = b_1 + d \cdot (n — 1) \)

Подставляем значения \( b_1 = 2 \) и \( d = 3 \):

\( b_n = 2 + 3 \cdot (n — 1) = 3n — 1 \).

3) Общий член:

Нам нужно найти такие значения \( n \) и \( k \), при которых \( a_n = b_k \), т.е. решить уравнение:

\( 8n — 2 = 3k — 1 \)

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\( 8n — 3k — n = 1 \).

Приводим к более удобному виду:

\( 3(3n — k) — n = 1 \).

Обозначаем \( m = 3n — k \), получаем:

\( 3m — n = 1 \).

Решаем относительно \( n \):

\( n = 3m — 1 \).

Теперь \( k = 3n — m \), подставляем найденное значение для \( n \):

\( k = 3(3m — 1) — m = 9m — 3 — m = 8m — 3 \).

Теперь подставим значения \( m = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \) для нахождения соответствующих \( n \) и \( k \):

Для \( m = 1 \), получаем \( n_1 = 3 — 1 = 2 \), \( k_1 = 6 — 1 = 5 \);

Для \( m = 2 \), получаем \( n_2 = 6 — 1 = 5 \), \( k_2 = 15 — 2 = 13 \);

Для \( m = 3 \), получаем \( n_3 = 9 — 1 = 8 \), \( k_3 = 24 — 3 = 21 \);

Для \( m = 4 \), получаем \( n_4 = 12 — 1 = 11 \), \( k_4 = 33 — 4 = 29 \);

Для \( m = 5 \), получаем \( n_5 = 15 — 1 = 14 \), \( k_5 = 42 — 5 = 37 \);

Для \( m = 6 \), получаем \( n_6 = 18 — 1 = 17 \), \( k_6 = 51 — 6 = 45 \).

4) Искомые члены:

Теперь находим искомые члены:

\( a_2 = 8 \cdot 2 — 2 = 16 — 2 = 14 \)

\( b_5 = 3 \cdot 5 — 1 = 15 — 1 = 14 \)

\( a_5 = 8 \cdot 5 — 2 = 40 — 2 = 38 \)

\( b_{13} = 3 \cdot 13 — 1 = 39 — 1 = 38 \)

\( a_8 = 8 \cdot 8 — 2 = 64 — 2 = 62 \)

\( b_{21} = 3 \cdot 21 — 1 = 63 — 1 = 62 \)

\( a_{11} = 8 \cdot 11 — 2 = 88 — 2 = 86 \)

\( b_{29} = 3 \cdot 29 — 1 = 87 — 1 = 86 \)

\( a_{14} = 8 \cdot 14 — 2 = 112 — 2 = 110 \)

\( b_{37} = 3 \cdot 37 — 1 = 111 — 1 = 110 \)

Ответ: 14; 38; 62; 86; 110.