ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 715 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Могут ли составлять арифметическую прогрессию:

а) длины сторон и периметр треугольника;

б) длины сторон прямоугольного треугольника?

В треугольнике составляют арифметическую прогрессию:

\( a_n = a_1 + d(n — 1); \)

а) Длины сторон и периметр:

\( a = a_1, \quad b = a_2, \quad c = a_3, \quad P = a_4; \)

\( b = a_1 + d, \quad c = a_1 + 2d, \quad P = a_1 + 3d; \)

\( P = a + b + c = 3a_1 + 3d; \)

\( 3a_1 + 3d = a_1 + 3d; \)

\( 3a_1 = a_1, \quad a_1 = 0; \)

Ответ: нет.

б) Длины сторон (\( \alpha = 90^\circ \)):

\( a = a_1, \quad b = a_2, \quad c = a_3; \)

\( b = a_1 + d, \quad c = a_1 + 2d; \)

\( c^2 = a^2 + b^2 = a_1^2 + a_1^2 + 2a_1d + d^2; \)

\( 2a_1^2 + 2a_1d + d^2 = a_1^2 + 4a_1d + 4d^2; \)

\( a_1^2 — 2a_1d — 3d^2 = 0; \)

\( D = (2d)^2 + 4 \cdot 3d^2 = 4d^2 + 12d^2 = 16d^2, \) тогда:

\( a_1 = \frac{2d + 4d}{2} = \frac{6d}{2} = 3d; \)

Ответ: да.

а) Длины сторон и периметр:

В треугольнике длины сторон составляют арифметическую прогрессию:

\( a_n = a_1 + d(n — 1) \)

Длины сторон:

\( a = a_1 \), \( b = a_2 \), \( c = a_3 \), \( P = a_4 \)

Таким образом, \( b = a_1 + d \), \( c = a_1 + 2d \), \( P = a_1 + 3d \).

Теперь находим периметр:

Периметр: \( P = a + b + c = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 3a_1 + 3d \).

Для периметра \( P \) также можем записать: \( P = a_1 + 3d \).

Сравниваем: \( 3a_1 + 3d = a_1 + 3d \). Получаем:

\( 3a_1 = a_1 \), то есть \( a_1 = 0 \).

Ответ: нет (размер стороны \( a_1 = 0 \) невозможен для треугольника).

б) Длины сторон при \( \alpha = 90^\circ \):

Теперь рассмотрим треугольник с углом \( \alpha = 90^\circ \) (прямой треугольник), в котором длины сторон также составляют арифметическую прогрессию:

Длины сторон: \( a = a_1 \), \( b = a_2 \), \( c = a_3 \), где \( b = a_1 + d \), \( c = a_1 + 2d \).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

\( c^2 = a^2 + b^2 \), где \( c = a_1 + 2d \), \( a = a_1 \), и \( b = a_1 + d \).

Запишем уравнение для \( c^2 \):

\( (a_1 + 2d)^2 = a_1^2 + (a_1 + d)^2 \)

Раскрываем скобки:

\( a_1^2 + 4a_1d + 4d^2 = a_1^2 + a_1^2 + 2a_1d + d^2 \)

Упростим:

\( 2a_1^2 + 2a_1d + 4d^2 = a_1^2 + 4a_1d + d^2 \)

Приводим все к одной стороне:

\( a_1^2 — 2a_1d — 3d^2 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \( a_1 \) с помощью дискриминанта:

Дискриминант уравнения:

\( D = (-2d)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3d^2) = 4d^2 + 12d^2 = 16d^2 \).

Находим корень:

\( a_1 = \frac{-(-2d) + \sqrt{16d^2}}{2} = \frac{2d + 4d}{2} = 3d \).

Ответ: да (при \( a_1 = 3d \), стороны могут образовывать прямоугольный треугольник).