ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 713 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что (a_n) — арифметическая прогрессия, разность которой равна d. Является ли арифметической прогрессией последовательность, и если да, то какова её разность:

а) a_2, a_4, a_6, …, a_(2n), …; в) a_1^2, a_2^2, a_3^2, …, a_n^2, …;

б) -a_1, -a_2, -a_4, …, -a_n, …; г) ma_1, ma_2, ma_3, …, ma_n, …;

д) a_1+1, a_2+2, a_3+3, …, a_n+n, …; е) 1/a_1, 1/a_2, 1/a_3, …, 1/a_n, …?

В арифметической прогрессии:

\( a_n = a_1 + d(n — 1) = a_1 + dn — d; \)

а) \( a_2; a_4; a_6; \ldots; a_{2n}; \ldots; \)

\( a_{2n} = a_1 + 2dn — d; \)

\( a_{2n+2} = a_1 + 2dn + d; \)

\( a_{2n+2} — a_{2n} = 2d; \)

Ответ: \( 2d. \)

б) \(-a_1; -a_2; \ldots; -a_n; \ldots; \)

\(-a_n = -a_1 — dn + d; \)

\(-a_{n+1} = -a_1 — dn; \)

\(-a_{n+1} + a_n = -d; \)

Ответ: \(-d. \)

в) \( a_1^2; a_2^2; a_3^2; \ldots; a_n^2; \ldots; \)

\( a_n^2 = a_1^2 + d^2n^2 + d^2 + 2a_1dn — 2a_1d — 2d^2n; \)

\( a_{n+1}^2 = (a_1 + dn)^2 = a_1^2 + d^2n^2 + 2a_1dn; \)

\( a_{n+1}^2 — a_n^2 = 2a_1d + 2d^2n — d^2; \)

Ответ: нет.

г) \( ma_1; ma_2; ma_3; \ldots; ma_n; \ldots; \)

\( ma_n = m(a_1 + dn — d); \)

\( ma_{n+1} = m(a_1 + dn); \)

\( ma_{n+1} — ma_n = md; \)

Ответ: \( md. \)

д) \( a_1 + 1; a_2 + 2; \ldots; a_n + n; \ldots; \)

\( a_n + n = a_1 + dn — d + n; \)

\( a_{n+1} + n + 1 = a_1 + dn + n + 1; \)

\( a_{n+1} — a_n = 1 + d; \)

Ответ: \( d + 1. \)

е) \( \frac{1}{a_1}; \frac{1}{a_2}; \frac{1}{a_3}; \ldots; \frac{1}{a_n}; \ldots; \)

\( a_n = \frac{1}{a_1 + dn — d}; \)

\( a_{n+1} = \frac{1}{a_1 + dn}; \)

\( a_{n+1} — a_n = \frac{a_1 + dn — a_1 — dn + d}{(a_1 + dn)(a_1 + dn — d)}; \)

\( a_{n+1} — a_n = \frac{d}{(a_1 + dn)(a_1 + dn — d)}; \)

Ответ: нет.

а) \( a_2; a_4; a_6; \ldots; a_{2n}; \ldots; \)

Дано уравнение для общего члена арифметической прогрессии:

\( a_n = a_1 + d(n — 1) = a_1 + dn — d \).

Найдем выражения для членов с четными номерами:

Для \( a_{2n} \), где \( n \) — целое число, подставляем \( n \) в формулу для \( a_n \):

\( a_{2n} = a_1 + 2dn — d \).

Для \( a_{2n+2} \), подставляем \( n+1 \) в формулу:

\( a_{2n+2} = a_1 + 2d(n + 1) — d = a_1 + 2dn + 2d — d = a_1 + 2dn + d \).

Теперь находим разность \( a_{2n+2} — a_{2n} \):

\( a_{2n+2} — a_{2n} = (a_1 + 2dn + d) — (a_1 + 2dn — d) = 2d \).

Ответ: \( 2d \).

б) \( -a_1; -a_2; \ldots; -a_n; \ldots; \)

Рассмотрим отрицательные члены арифметической прогрессии. Если мы умножим каждый член прогрессии на \( -1 \), то получим новую последовательность.

Для \( -a_n \):

\( -a_n = -(a_1 + dn — d) = -a_1 — dn + d \).

Для \( -a_{n+1} \), где \( n+1 \) — следующий номер:

\( -a_{n+1} = -(a_1 + d(n + 1) — d) = -a_1 — dn \).

Теперь находим разность:

\( -a_{n+1} + a_n = (-a_1 — dn) — (-a_1 — dn + d) = -d \).

Ответ: \( -d \).

в) \( a_1^2; a_2^2; a_3^2; \ldots; a_n^2; \ldots; \)

Теперь рассмотрим квадраты членов арифметической прогрессии. Для вычисления разности между квадратами членов прогрессии будем использовать формулу для \( a_n \).

Для \( a_n^2 \), подставим выражение для \( a_n \) в квадрат:

\( a_n^2 = (a_1 + dn — d)^2 = a_1^2 + d^2n^2 + 2a_1dn — 2a_1d — 2d^2n \).

Для \( a_{n+1}^2 \):

\( a_{n+1}^2 = (a_1 + d(n + 1) — d)^2 = a_1^2 + d^2(n + 1)^2 + 2a_1d(n + 1) \).

Теперь вычислим разницу:

\( a_{n+1}^2 — a_n^2 = (a_1^2 + d^2(n + 1)^2 + 2a_1d(n + 1)) — (a_1^2 + d^2n^2 + 2a_1dn) \).

Упростим разницу:

\( a_{n+1}^2 — a_n^2 = 2a_1d + 2d^2n — d^2 \).

Ответ: нет (разность не является постоянной).

г) \( ma_1; ma_2; ma_3; \ldots; ma_n; \ldots; \)

Теперь рассмотрим прогрессию, в которой каждый член умножен на коэффициент \( m \).

Для \( ma_n \):

\( ma_n = m(a_1 + dn — d) \).

Для \( ma_{n+1} \):

\( ma_{n+1} = m(a_1 + d(n + 1) — d) = m(a_1 + dn) \).

Теперь находим разность:

\( ma_{n+1} — ma_n = m(a_1 + dn) — m(a_1 + dn — d) = md \).

Ответ: \( md \).

д) \( a_1 + 1; a_2 + 2; \ldots; a_n + n; \ldots; \)

Теперь рассмотрим прогрессию, в которой к каждому члену добавлено его номер. Это изменяет члены прогрессии на величину, зависящую от индекса \( n \).

Для \( a_n + n \):

\( a_n + n = a_1 + dn — d + n \).

Для \( a_{n+1} + n + 1 \):

\( a_{n+1} + n + 1 = a_1 + d(n + 1) — d + (n + 1) = a_1 + dn + n + 1 \).

Теперь находим разность:

\( a_{n+1} — a_n = (a_1 + dn + n + 1) — (a_1 + dn — d + n) = 1 + d \).

Ответ: \( d + 1 \).

е) \( \frac{1}{a_1}; \frac{1}{a_2}; \frac{1}{a_3}; \ldots; \frac{1}{a_n}; \ldots; \)

Теперь рассмотрим прогрессию, в которой каждый член является обратным значением соответствующего члена арифметической прогрессии.

Для \( a_n \):

\( a_n = \frac{1}{a_1 + dn — d} \).

Для \( a_{n+1} \):

\( a_{n+1} = \frac{1}{a_1 + dn} \).

Теперь находим разность:

\( a_{n+1} — a_n = \frac{1}{a_1 + dn} — \frac{1}{a_1 + dn — d} = \frac{a_1 + dn — (a_1 + dn — d)}{(a_1 + dn)(a_1 + dn — d)} = \frac{d}{(a_1 + dn)(a_1 + dn — d)} \).

Ответ: нет (разность не является постоянной).