ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 712 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область определения и область значений функции, заданной формулой:

а) y=1/(x^2-x); б) y=v(x-x^2).

Найти область определения и множество значений функции:

а) \( y = \frac{1}{x^2 — x}; \)

Область определения:

\( x^2 — x \neq 0; \)

\( x(x — 1) \neq 0; \)

\( x_1 \neq 0, \; x_2 \neq 1; \)

Множество значений:
\( y(x^2 — x) = 1; \)

\( x^2 — x = \frac{1}{y}; \)

\( x^2 — x — \frac{1}{y} = 0; \)

\( D = 1^2 + 4 \cdot \frac{1}{y} = 1 + \frac{4}{y}; \)

\( 1 + \frac{4}{y} \geq 0, \quad y + \frac{4}{y} \geq 0; \)

\( y \leq -4, \quad y > 0; \)

Ответ:

\( D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty); \)

\( E(y) = (-\infty; -4] \cup (0; +\infty). \)

б) \( y = \sqrt{x — x^2}; \)

Область определения:
\( x — x^2 \geq 0; \)

\( x^2 — x \leq 0; \)

\( x(x — 1) \leq 0; \)

\( 0 \leq x \leq 1; \)

Множество значений:

\( y^2 = x — x^2; \)

\( x^2 — x + y^2 = 0; \)

\( D = 1^2 — 4 \cdot y^2 = 1 — 4y^2; \)

\( 1 — 4y^2 \geq 0, \quad 4y^2 \leq 1 \leq 0; \)

\( (2y + 1)(2y — 1) \leq 0; \)

\( -\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{1}{2}; \)

Ответ:

\( D(x) = [0, 1]; \)

\( E(y) = [0; \frac{1}{2}]. \)

а) \( y = \frac{1}{x^2 — x} \)

Область определения:

Для того чтобы функция была определена, знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. \( x^2 — x \neq 0 \).

Решаем уравнение: \( x(x — 1) \neq 0 \).

Получаем, что \( x_1 \neq 0, \quad x_2 \neq 1 \).

Таким образом, область определения функции: \( D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty) \).

Множество значений:

Рассматриваем уравнение: \( y(x^2 — x) = 1 \), из которого получаем: \( x^2 — x = \frac{1}{y} \).

Таким образом, получаем квадратное уравнение относительно \( x \): \( x^2 — x — \frac{1}{y} = 0 \).

Для того чтобы уравнение имело решение, дискриминант должен быть неотрицательным:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot \left( -\frac{1}{y} \right) = 1 + \frac{4}{y} \).

Для того чтобы дискриминант был неотрицательным, требуем: \( 1 + \frac{4}{y} \geq 0 \), что дает: \( y + \frac{4}{y} \geq 0 \).

Решаем неравенство: \( y \leq -4, \quad y > 0 \).

Таким образом, множество значений функции: \( E(y) = (-\infty; -4] \cup (0; +\infty) \).

б) \( y = \sqrt{x — x^2} \)

Область определения:

Для того чтобы функция была определена, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\( x — x^2 \geq 0 \).

Приводим неравенство к виду: \( x^2 — x \leq 0 \), что эквивалентно \( x(x — 1) \leq 0 \).

Решаем неравенство: \( 0 \leq x \leq 1 \).

Таким образом, область определения функции: \( D(x) = [0, 1] \).

Множество значений:

Возводим обе части уравнения \( y = \sqrt{x — x^2} \) в квадрат:

\( y^2 = x — x^2 \).

Получаем квадратное уравнение: \( x^2 — x + y^2 = 0 \).

Находим дискриминант уравнения: \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot y^2 = 1 — 4y^2 \).

Для того чтобы уравнение имело решение, требуем: \( 1 — 4y^2 \geq 0 \), что даёт: \( 4y^2 \leq 1 \), и \( y^2 \leq \frac{1}{4} \), соответственно, \( -\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{1}{2} \).

Таким образом, множество значений функции: \( E(y) = [0; \frac{1}{2}] \).