ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 711 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что последовательность (x_n) является возрастающей, если:

а) x_n=(3n-2)/(n+1); б) x_n=2^n-n.

Доказать, что возрастает такая последовательность:

а) \(x_n = \frac{3n — 2}{n + 1};\)

\[
x_{n+1} = \frac{3(n + 1) — 2}{(n + 1) + 1} = \frac{3n + 3 — 2}{n + 1 + 1} = \frac{3n + 1}{n + 2};
\]

\[
x_{n+1} — x_n = \frac{(3n + 1)(n + 1) — (3n — 2)(n + 2)}{(n + 1)(n + 2)};
\]

\[
x_{n+1} — x_n = \frac{3n^2 + 3n + n + 1 — 3n^2 — 6n + 2n + 4}{(n + 1)(n + 2)};
\]

\[
x_{n+1} — x_n = \frac{5}{(n + 1)(n + 2)} > 0;
\]

Что и требовалось доказать.

б) \(x_n = 2^n — n;\)

\[
x_{n+1} = 2^{n+1} — (n + 1);
\]

\[
x_{n+1} — x_n = 2 \cdot 2^n — 1 > 0;
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать, что последовательность возрастает:

a) \( x_n = \frac{3n — 2}{n + 1} \)

Шаг 1: Рассмотрим выражение для \( x_{n+1} \):
\[
x_{n+1} = \frac{3(n + 1) — 2}{(n + 1) + 1} = \frac{3n + 3 — 2}{n + 2} = \frac{3n + 1}{n + 2}.
\]

Это выражение для \( x_{n+1} \).

Шаг 2: Вычислим разницу \( x_{n+1} — x_n \):
\[
x_{n+1} — x_n = \frac{(3n + 1)(n + 1) — (3n — 2)(n + 2)}{(n + 1)(n + 2)}.
\]

Раскроем скобки в числителе:
\[
x_{n+1} — x_n = \frac{3n^2 + 3n + n + 1 — 3n^2 — 6n + 2n + 4}{(n + 1)(n + 2)}.
\]

Упростим числитель:
\[
x_{n+1} — x_n = \frac{5}{(n + 1)(n + 2)}.
\]

Так как числитель положителен (5 > 0), а знаменатель также положителен для всех \( n \geq 1 \), то разница \( x_{n+1} — x_n > 0 \). Таким образом, последовательность возрастает.

Ответ: Мы доказали, что последовательность \( x_n = \frac{3n — 2}{n + 1} \) возрастает.

b) \( x_n = 2^n — n \)

Шаг 1: Рассмотрим выражение для \( x_{n+1} \):
\[
x_{n+1} = 2^{n+1} — (n + 1).
\]

Это выражение для \( x_{n+1} \).

Шаг 2: Вычислим разницу \( x_{n+1} — x_n \):
\[
x_{n+1} — x_n = 2^{n+1} — (n + 1) — (2^n — n) = 2 \cdot 2^n — 1.
\]

Является очевидным, что \( 2 \cdot 2^n — 1 > 0 \) для всех \( n \geq 1 \), так как \( 2 \cdot 2^n \) всегда больше 1. Следовательно, разница \( x_{n+1} — x_n > 0 \), что подтверждает возрастание последовательности.

Ответ: Мы доказали, что последовательность \( x_n = 2^n — n \) возрастает.