ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 710 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение

(x-2)/x-(x+7)/(x+3)=(x-5)/(x-1)-(x+4)/(x+2).

Решить уравнение:

\[
\frac{x — 2}{x + 3} — \frac{x + 7}{x — 1} = \frac{x — 5}{x + 2} — \frac{x + 4}{x — 1};
\]

\[
\frac{(x — 2)(x + 3) — x(x + 7)}{x(x + 3)} = \frac{(x — 5)(x + 2) — (x + 4)(x — 1)}{(x — 1)(x + 2)};
\]

\[
\frac{x^2 + 3x — 2x — 6 — x^2 — 7x}{x^2 + 3x} = \frac{x^2 + 2x — 5x — 10 — x^2 + x — 4x + 4}{x^2 + 2x — x — 2};
\]

\[
\frac{-6x — 6}{x^2 + 3x} = \frac{-6x — 6}{x^2 + x — 2};
\]

\[
x^2 + 3x = x^2 + x — 2, \quad -6x — 6 = 0;
\]

\[
2x = -2, \quad 6x = -6, \quad x = -1;
\]

Область определения:

\(x + 3 \neq 0, \quad x \neq -3;\)

\(x — 1 \neq 0, \quad x \neq 1;\)

\(x + 2 \neq 0, \quad x \neq -2;\)

\(x \neq 0;\)

Ответ: \(-1.\)

Решить уравнение:

\[
\frac{x — 2}{x + 3} — \frac{x + 7}{x — 1} = \frac{x — 5}{x + 2} — \frac{x + 4}{x — 1}.
\]

Шаг 1: Приводим обе части уравнения к общему знаменателю. Левую часть перепишем как:
\[
\frac{(x — 2)(x + 3) — x(x + 7)}{x(x + 3)}.
\]

Для правой части:
\[
\frac{(x — 5)(x + 2) — (x + 4)(x — 1)}{(x — 1)(x + 2)}.
\]

Мы получили дроби с общими знаменателями, теперь упрощаем числители.

Шаг 2: Упростим числители:

Левый числитель:
\[
(x — 2)(x + 3) — x(x + 7) = x^2 + 3x — 2x — 6 — x^2 — 7x = -6x — 6.
\]

Правый числитель:

\[
(x — 5)(x + 2) — (x + 4)(x — 1) = x^2 + 2x — 5x -\]

\[10 — x^2 + x — 4x + 4 = -6x — 6.
\]

Шаг 3: Теперь у нас уравнение:
\[
\frac{-6x — 6}{x^2 + 3x} = \frac{-6x — 6}{x^2 + x — 2}.
\]

Так как числители одинаковы, мы можем приравнять знаменатели:
\[
x^2 + 3x = x^2 + x — 2.
\]

Убираем \(x^2\) с обеих сторон:
\[
3x = x — 2.
\]

Теперь решим для \(x\):

\[
3x — x = -2 \quad \Rightarrow \quad 2x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -1.
\]

Шаг 4: Проверяем область определения. Знаменатели не могут быть равны нулю, следовательно, \(x\) не может принимать значения, которые делают эти выражения нулевыми:
\[
x + 3 \neq 0, \quad x \neq -3;
\]

\[
x — 1 \neq 0, \quad x \neq 1;
\]

\[
x + 2 \neq 0, \quad x \neq -2;
\]

\[
x \neq 0.
\]

Значение \(x = -1\) не нарушает эти условия, поэтому решение верно.

Ответ: \( x = -1 \).