ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 709 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:

а) x^3-4x^2-x+4; б) x^3-x^2-x-2.

Разложить на множители:

a) \(x^3 — 4x^2 — x + 4 = x^2(x — 4) — (x — 4) =\)

\((x^2 — 1)(x — 4) = (x + 1)(x — 1)(x — 4);\)

б) \(x^3 + x^2 — x — 2 = x^3 + x^2 + x — 2x^2 — 2x — 2 =\)

\(x(x^2 + x + 1) — 2(x^2 + x + 1) = (x — 2)(x^2 + x + 1);\)

Разложить на множители:

a) \( x^3 — 4x^2 — x + 4 \)

Шаг 1: Начнем с того, что группируем слагаемые, чтобы выделить общий множитель:
\[
x^3 — 4x^2 — x + 4 = x^2(x — 4) — (x — 4).
\]

Обратите внимание, что мы сгруппировали первые два слагаемых и последние два слагаемых. Из первой группы \( x^3 — 4x^2 \) вынесли общий множитель \( x^2 \), из второй группы \( -x + 4 \) вынесли общий множитель \( -1 \), так что получилось \( — (x — 4) \).

Шаг 2: Теперь видим, что в обоих членах выражения есть общий множитель \( (x — 4) \):
\[
x^2(x — 4) — (x — 4) = (x — 4)(x^2 — 1).
\]

Теперь мы можем вынести \( (x — 4) \) как общий множитель из обоих слагаемых.

Шаг 3: Разложим \( x^2 — 1 \) как разность квадратов:
\[
x^2 — 1 = (x + 1)(x — 1).
\]

Это стандартное разложение разности квадратов.

Шаг 4: Таким образом, получаем окончательное разложение:
\[
x^3 — 4x^2 — x + 4 = (x — 4)(x + 1)(x — 1).
\]

Мы доказали, что выражение \( x^3 — 4x^2 — x + 4 \) можно разложить на множители как \( (x — 4)(x + 1)(x — 1) \).

Ответ: \( x^3 — 4x^2 — x + 4 = (x — 4)(x + 1)(x — 1).\)

b) \( x^3 + x^2 — x — 2 \)

Шаг 1: Начнем с группировки слагаемых:
\[
x^3 + x^2 — x — 2 = x^3 + x^2 + x — 2x^2 — 2x — 2.
\]

Мы сгруппировали слагаемые так, чтобы выделить общий множитель. Для первого слагаемого \( x^3 + x^2 \) общий множитель — это \( x \), а для второго слагаемого \( -x — 2 \) общий множитель — это \( -2 \).

Шаг 2: Теперь можно выделить общий множитель в каждой группе:
\[
x(x^2 + x + 1) — 2(x^2 + x + 1).
\]

Как видно, в обеих группах есть общий множитель \( (x^2 + x + 1) \), который можно вынести.

Шаг 3: Вынесем общий множитель \( (x^2 + x + 1) \):
\[
x(x^2 + x + 1) — 2(x^2 + x + 1) = (x — 2)(x^2 + x + 1).
\]

Теперь у нас есть разложение на множители для выражения \( x^3 + x^2 — x — 2 \).

Ответ: \( x^3 + x^2 — x — 2 = (x — 2)(x^2 + x + 1).\)