ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 707 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В плоскости проведено n различных прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что эти прямые разбивают плоскость на n(n+1)/2+1 частей.

Каждая \(n\)-ая прямая проходит через \(n\) частей плоскости и разбивает их на две части, то есть добавляет \(n\) новых частей:

1) Если \(n = 1\), тогда:
\[
1 \cdot (1 + 1) \div 2 + 1 = \frac{2}{2} + 1 = 2;
\]

2) Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
N_{k+1} — N_k = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} + 1 — \frac{k(k + 1)}{2} + 1;
\]

\[
N_{k+1} — N_k = \frac{1}{2}(k + 1) \cdot (k + 2 — k) = k + 1 = n;
\]

Что и требовалось доказать.

Каждая \( n \)-ая прямая проходит через \( n \) частей плоскости и разбивает их на две части, то есть добавляет \( n \) новых частей:

1) Если \( n = 1 \), тогда:

Подставим \( n = 1 \) в выражение:
\[
1 \cdot (1 + 1) \div 2 + 1 = \frac{2}{2} + 1 = 2.
\]

Это означает, что для \( n = 1 \) прямые разбивают плоскость на 2 части.

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Рассмотрим разницу между количеством частей для \( n = k + 1 \) и \( n = k \). Мы подставляем значения в формулы для \( N_{k+1} \) и \( N_k \):
\[
N_{k+1} — N_k = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} + 1 — \frac{k(k + 1)}{2} + 1.
\]

Упростим выражение:
\[
N_{k+1} — N_k = \frac{1}{2}(k + 1) \cdot (k + 2 — k) = k + 1 = n.
\]

Это доказывает, что разница между количеством частей для \( n = k + 1 \) и \( n = k \) равна \( k + 1 \), что соответствует добавлению \( n \) новых частей.

Ответ: Мы доказали, что количество частей, на которые разбивает плоскость \( n \)-ая прямая, увеличивается на \( n \), что и требовалось доказать.