ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 706 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при делении на 18 любого члена последовательности (a_n), заданной формулой a_n=7^n+12n, в остатке получается 1.

Доказать данное равенство:

\(a_n = 7^n + 12n, \, a_n \mod 18 = 1;\)

1) Если \(n = 1\), тогда:
\[
a_1 = 7 + 12 = 19 = 18 + 1;
\]

2) Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
a_{k+1} = 7^{k+1} + 12(k + 1) =
\]

\[
= 7 \cdot 7^k + 12k + 12 =
\]

\[
= 7^k + 12k + 6 \cdot 7^k + 12 =
\]

\[
= a_k + 6 \cdot (7^k + 2);
\]

3) Докажем кратность:
\((7^k + 2) : 3;\)

\[
7^1 + 2 = 7 + 2 = 9 = 3 \cdot 3;
\]

\[
7^{k+1} + 2 = (7^k + 2) + 6 \cdot 7^k;
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать равенство:

\( a_n = 7^n + 12n, \, a_n \mod 18 = 1 \)

1) Если \( n = 1 \), тогда:

Подставим \( n = 1 \) в выражение для \( a_1 \):
\[
a_1 = 7 + 12 = 19 = 18 + 1.
\]

Это подтверждает, что \( a_1 \equiv 1 \pmod{18} \), так как \( 19 — 18 = 1 \).

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Подставим \( n = k + 1 \) в выражение для \( a_{k+1} \):
\[
a_{k+1} = 7^{k+1} + 12(k + 1).
\]

Раскроем:
\[
a_{k+1} = 7 \cdot 7^k + 12k + 12.
\]

Теперь выделим общие множители:
\[
a_{k+1} = 7^k + 12k + 6 \cdot 7^k + 12.
\]

Мы видим, что \( 7^k + 12k \) — это \( a_k \), то есть:

\[
a_{k+1} = a_k + 6 \cdot (7^k + 2).
\]

3) Докажем кратность:

Нам нужно доказать, что \( 7^k + 2 \) делится на 3. Проверим это для \( k = 1 \):
\[
7^1 + 2 = 7 + 2 = 9 = 3 \cdot 3.
\]

Теперь, предположим, что \( 7^k + 2 \) делится на 3 для некоторого \( k \), то есть:
\[
7^k + 2 = 3m, \quad m \in \mathbb{Z}.
\]

Рассмотрим:
\[
7^{k+1} + 2 = (7^k + 2) + 6 \cdot 7^k = 3m + 6 \cdot 7^k.
\]

Поскольку \( 6 \cdot 7^k \) делится на 3, то и вся эта сумма делится на 3. Таким образом, мы доказали, что \( 7^k + 2 \) делится на 3 для всех \( k \).

Ответ: Мы доказали, что для всех \( n \) выполняется \( a_n \equiv 1 \pmod{18} \), что и требовалось доказать.