ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 705 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что

а) 15^n+6 кратно 7; в) 7^n+3n-1 кратно 9;

б) 13^n+5 кратно 6; г) 5^n-3^n+2n кратно 4.

a) \(a_n = 15^n + 6, \, a_n : 7;\)
Если \(n = 1\), тогда:
\[
a_1 = 15 + 7 = 21 = 7 \cdot 3;
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:

\[
a_{k+1} = 15^{k+1} + 6 = 15 \cdot 15^k + 6 =
\]

\[
= 14 \cdot 15^k + 15^k + 6 = 14 \cdot 15^k + a_k;
\]

Что и требовалось доказать.

б) \(a_n = 13^n + 5, \, a_n : 6;\)
Если \(n = 1\), тогда:
\[
a_1 = 13 + 5 = 18 = 6 \cdot 3;
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:

\[
a_{k+1} = 13^{k+1} + 5 = 13 \cdot 13^k + 5 =
\]

\[
= 12 \cdot 13^k + 13^k + 5 = 12 \cdot 13^k + a_k;
\]

Что и требовалось доказать.

в) \(a_n = 7^n + 3n — 1, \, a_n : 9;\)
Если \(n = 1\), тогда:
\[
a_1 = 7 + 3 — 1 = 9;
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:

\[
a_{k+1} = 7^{k+1} + 3(k + 1) — 1 =
\]

\[
= 7 \cdot 7^k + 3k + 3 — 1 =
\]

\[
= 7(7^k + 3k — 1) — 18k + 9 =
\]

\[
= 7 \cdot a_k — 2 \cdot 9k + 9;
\]

Что и требовалось доказать.

г) \(a_n = 5^n — 3^n + 2n, \, a_n : 4;\)
Если \(n = 1\), тогда:
\[
a_1 = 5 — 3 + 2 = 4;
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:

\[
a_{k+1} = 5^{k+1} — 3^{k+1} + 2(k + 1) =
\]

\[
= 5 \cdot 5^k — 3 \cdot 3^k + 2k + 2 =
\]

\[
= 5^k — 3^k + 2k + 4 \cdot 5^k — 2 \cdot 3^k + 2 =
\]

\[
= a_k + 4 \cdot 5^k — 2 \cdot (3^k — 1);
\]

Докажем кратность:

\[
(3^k — 1) : 2;
\]

\[
3^1 — 1 = 3 \cdot 1 = 2;
\]

\[
3^k + 1 = (3^k — 1) + 2 \cdot 3^k;
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать кратность чисел:

a) \( a_n = 15^n + 6, \, a_n : 7; \)

Шаг 1: Проверим, если \( n = 1 \), тогда:
\[
a_1 = 15 + 6 = 21 = 7 \cdot 3.
\]

Это доказывает, что \( a_1 = 21 \) делится на 7, так как \( 21 = 7 \cdot 3 \).

Шаг 2: Теперь предположим, что \( a_k \) делится на 7. То есть, предположим:
\[
a_k = 15^k + 6,
\]

и что \( a_k \) делится на 7. Нужно доказать, что \( a_{k+1} = 15^{k+1} + 6 \) также делится на 7. Рассмотрим \( a_{k+1} \):
\[
a_{k+1} = 15^{k+1} + 6 = 15 \cdot 15^k + 6.
\]

Теперь разложим:
\[
a_{k+1} = 14 \cdot 15^k + 15^k + 6 = 14 \cdot 15^k + a_k.
\]

Поскольку \( a_k \) делится на 7 (по предположению индукции), и \( 14 \cdot 15^k \) делится на 7 (так как 14 делится на 7), то и \( a_{k+1} \) делится на 7. Таким образом, доказано, что \( a_n \) делится на 7 для всех \( n \in \mathbb{N} \).

Ответ: \( a_n = 15^n + 6 \) делится на 7 для всех \( n \in \mathbb{N} \).

b) \( a_n = 13^n + 5, \, a_n : 6; \)

Шаг 1: Проверим, если \( n = 1 \), тогда:
\[
a_1 = 13 + 5 = 18 = 6 \cdot 3.
\]

Это доказывает, что \( a_1 = 18 \) делится на 6, так как \( 18 = 6 \cdot 3 \).

Шаг 2: Теперь предположим, что \( a_k \) делится на 6. То есть, предположим:
\[
a_k = 13^k + 5,
\]

и что \( a_k \) делится на 6. Нужно доказать, что \( a_{k+1} = 13^{k+1} + 5 \) также делится на 6. Рассмотрим \( a_{k+1} \):

\[
a_{k+1} = 13^{k+1} + 5 = 13 \cdot 13^k + 5.
\]

Теперь разложим:
\[
a_{k+1} = 12 \cdot 13^k + 13^k + 5 = 12 \cdot 13^k + a_k.
\]

Поскольку \( a_k \) делится на 6 (по предположению индукции), и \( 12 \cdot 13^k \) делится на 6 (так как 12 делится на 6), то и \( a_{k+1} \) делится на 6. Таким образом, доказано, что \( a_n \) делится на 6 для всех \( n \in \mathbb{N} \).

Ответ: \( a_n = 13^n + 5 \) делится на 6 для всех \( n \in \mathbb{N} \).

в) \( a_n = 7^n + 3n — 1, \, a_n : 9; \)

Шаг 1: Проверим, если \( n = 1 \), тогда:
\[
a_1 = 7 + 3 — 1 = 9.
\]

Это доказывает, что \( a_1 = 9 \) делится на 9.

Шаг 2: Теперь предположим, что \( a_k \) делится на 9. То есть, предположим:
\[
a_k = 7^k + 3k — 1,
\]

и что \( a_k \) делится на 9. Нужно доказать, что \( a_{k+1} = 7^{k+1} + 3(k+1) — 1 \) также делится на 9. Рассмотрим \( a_{k+1} \):
\[
a_{k+1} = 7^{k+1} + 3(k+1) — 1 = 7 \cdot 7^k + 3k + 3 — 1 = 7 \cdot 7^k + 3k + 2.
\]

Теперь разложим:
\[
a_{k+1} = 7(7^k + 3k — 1) — 18k + 9 = 7 \cdot a_k — 2 \cdot 9k + 9.
\]

Так как \( a_k \) делится на 9 по предположению индукции, и \( — 18k + 9 \) также делится на 9, то и \( a_{k+1} \) делится на 9. Таким образом, доказано, что \( a_n \) делится на 9 для всех \( n \in \mathbb{N} \).

Ответ: \( a_n = 7^n + 3n — 1 \) делится на 9 для всех \( n \in \mathbb{N} \).

г) \( a_n = 5^n — 3^n + 2n, \, a_n : 4; \)

Шаг 1: Проверим, если \( n = 1 \), тогда:
\[
a_1 = 5 — 3 + 2 = 4.
\]

Это доказывает, что \( a_1 = 4 \) делится на 4.

Шаг 2: Теперь предположим, что \( a_k \) делится на 4. То есть, предположим:
\[
a_k = 5^k — 3^k + 2k,
\]

и что \( a_k \) делится на 4. Нужно доказать, что \( a_{k+1} = 5^{k+1} — 3^{k+1} + 2(k+1) \) также делится на 4. Рассмотрим \( a_{k+1} \):
\[
a_{k+1} = 5^{k+1} — 3^{k+1} + 2(k+1) = 5 \cdot 5^k — 3 \cdot 3^k + 2k + 2.
\]

Теперь разложим:
\[
a_{k+1} = (5^k — 3^k + 2k) + 4 \cdot 5^k — 2 \cdot 3^k + 2.
\]

По предположению индукции, \( 5^k — 3^k + 2k \) делится на 4, а также \( 4 \cdot 5^k — 2 \cdot 3^k + 2 \) делится на 4, поскольку все члены делятся на 4. Таким образом, доказано, что \( a_n \) делится на 4 для всех \( n \in \mathbb{N} \).

Ответ: \( a_n = 5^n — 3^n + 2n \) делится на 4 для всех \( n \in \mathbb{N} \).