ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 704 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что любой член последовательности (b_n) делится на 9:

b_n=4^n+15n-1.

Доказать кратность чисел:

\(b_n = 4^n + 15n — 1, \, b_n : 9;\)

1) Если \(n = 1\), тогда:
\[
b_1 = 4 + 15 — 1 = 18 = 9 \cdot 2;
\]

2) Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
b_{k+1} = 4^{k+1} + 15(k + 1) — 1 =
\]

\[
= 4 \cdot 4^k + 15k + 15 — 1 =
\]

\[
= 4(4^k + 15k — 1) + 45k + 18 =
\]

\[
= 4 \cdot b_k + 9 \cdot 5k + 9 \cdot 2;
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать кратность чисел:

\( b_n = 4^n + 15n — 1, \, b_n : 9; \)

1) Если \( n = 1 \), тогда:

Подставим \( n = 1 \) в выражение для \( b_1 \):
\[
b_1 = 4 + 15 — 1 = 18 = 9 \cdot 2.
\]

Это доказывает, что \( b_1 \) делится на 9, так как \( 18 = 9 \cdot 2 \).
Таким образом, для \( n = 1 \) кратность выполняется.

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Рассмотрим \( b_{k+1} \) и подставим значение для \( b_{k+1} \):
\[
b_{k+1} = 4^{k+1} + 15(k + 1) — 1.
\]

Раскроем выражение:
\[
b_{k+1} = 4 \cdot 4^k + 15k + 15 — 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 14.
\]

Теперь выделим общие множители:
\[
b_{k+1} = 4(4^k + 15k — 1) + 45k + 18.
\]

Это можно записать как:
\[
b_{k+1} = 4 \cdot b_k + 9 \cdot 5k + 9 \cdot 2.
\]

Заметим, что \( b_k \) делится на 9 по предположению индукции. Также \( 45k + 18 \) делится на 9, так как \( 45k + 18 = 9(5k + 2) \).

Таким образом, \( b_{k+1} \) делится на 9, так как сумма всех членов делится на 9.

Ответ: Мы доказали, что \( b_n = 4^n + 15n — 1 \) делится на 9 для всех \( n \in \mathbb{N} \).