ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 703 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что любой член последовательности (a_n) делится на 6, если:

а) a_n=n^3+17n; б) a_n=n^3+35n.

Доказать кратность чисел:

a) \(a_n = n^3 + 17n, \, a_n : 6;\)

Если \(n = 1\), тогда:
\[
a_1 = 1^3 + 17 = 18 = 3 \cdot 6;
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
a_{k+1} = (k + 1)^3 + 17(k + 1) =
\]

\[
= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 17k + 17 =
\]

\[
= (k^3 + 17k) + 18 + 3k^2 + 3k =
\]

\[
= a_k + 6 \cdot 3 + 3k(k + 1);
\]

Что и требовалось доказать.

b) \(a_n = n^3 + 35n, \, a_n : 6;\)

Если \(n = 1\), тогда:
\[
a_1 = 1^3 + 35 = 36 = 6 \cdot 6;
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
a_{k+1} = (k + 1)^3 + 35(k + 1) =
\]

\[
= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 35k + 35 =
\]

\[
= (k^3 + 35k) + 36 + 3k^2 + 3k =
\]

\[
= a_k + 6 \cdot 6 + 3k(k + 1);
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать кратность чисел:

a) \( a_n = n^3 + 17n, \, a_n : 6 \);

Шаг 1: Проверим, если \( n = 1 \), тогда:
\[
a_1 = 1^3 + 17 = 1 + 17 = 18 = 3 \cdot 6.
\]

Мы видим, что для \( n = 1 \) \( a_1 = 18 \), что делится на 6, подтверждая, что кратность выполняется для \( n = 1 \).

Шаг 2: Теперь предположим, что равенство выполняется для \( n = k \). То есть предполагаем, что:
\[
a_k = k^3 + 17k,
\]

и что \( a_k \) делится на 6. Нужно доказать, что \( a_{k+1} = (k + 1)^3 + 17(k + 1) \) тоже делится на 6. Подставляем:

\[
a_{k+1} = (k + 1)^3 + 17(k + 1).
\]

Раскрываем куб и распределяем:
\[
a_{k+1} = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 17k + 17.
\]

Теперь сгруппируем подобные члены:
\[
a_{k+1} = (k^3 + 17k) + 18 + 3k^2 + 3k.
\]

Заметим, что \( k^3 + 17k = a_k \), то есть:
\[
a_{k+1} = a_k + 18 + 3k^2 + 3k.
\]

Мы видим, что \( a_k \) делится на 6 (по предположению), а \( 18 = 6 \cdot 3 \), следовательно, \( a_{k+1} \) делится на 6, так как сумма всех членов делится на 6.

Ответ: Мы доказали, что \( a_n = n^3 + 17n \) делится на 6 для всех \( n \in \mathbb{N} \).

b) \( a_n = n^3 + 35n, \, a_n : 6 \);

Шаг 1: Проверим, если \( n = 1 \), тогда:
\[
a_1 = 1^3 + 35 = 1 + 35 = 36 = 6 \cdot 6.
\]

Мы видим, что для \( n = 1 \) \( a_1 = 36 \), что делится на 6, подтверждая, что кратность выполняется для \( n = 1 \).

Шаг 2: Теперь предположим, что равенство выполняется для \( n = k \). То есть предполагаем, что:
\[
a_k = k^3 + 35k,
\]

и что \( a_k \) делится на 6. Нужно доказать, что \( a_{k+1} = (k + 1)^3 + 35(k + 1) \) тоже делится на 6. Подставляем:

\[
a_{k+1} = (k + 1)^3 + 35(k + 1).
\]

Раскрываем куб и распределяем:
\[
a_{k+1} = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 35k + 35.
\]

Теперь сгруппируем подобные члены:
\[
a_{k+1} = (k^3 + 35k) + 36 + 3k^2 + 3k.
\]

Заметим, что \( k^3 + 35k = a_k \), то есть:
\[
a_{k+1} = a_k + 36 + 3k^2 + 3k.
\]

Мы видим, что \( a_k \) делится на 6 (по предположению), а \( 36 = 6 \cdot 6 \), следовательно, \( a_{k+1} \) делится на 6, так как сумма всех членов делится на 6.

Ответ: Мы доказали, что \( a_n = n^3 + 35n \) делится на 6 для всех \( n \in \mathbb{N} \).